Номер 5.73, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.73, страница 140.

Условие.

5.73° Объясните, как по знаку второй производной функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ определить выпуклость вверх (вниз) графика этой функции на интервале $(a; b)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для определения направления выпуклости графика функции $y = f(x)$, которая является дважды дифференцируемой на интервале $(a; b)$, используется знак ее второй производной $f''(x)$. Существует прямая связь между знаком второй производной и формой графика функции на данном интервале.

Выпуклость вверх

График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вверх (или вогнутым) на интервале $(a; b)$, если он на всем этом интервале расположен не выше любой своей касательной (за исключением точки касания). Геометрически это означает, что кривая изгибается в направлении отрицательной части оси $Oy$, образуя форму, похожую на арку (∩).

Правило для определения выпуклости вверх следующее: если вторая производная функции отрицательна для всех значений $x$ из интервала $(a; b)$, то есть $f''(x) < 0$ при $x \in (a; b)$, то график функции на этом интервале является выпуклым вверх.

Это объясняется тем, что отрицательность второй производной $f''(x)$ означает, что первая производная $f'(x)$ (которая характеризует угловой коэффициент касательной к графику) является убывающей функцией. По мере увеличения $x$ наклон касательной уменьшается, то есть касательная поворачивается по часовой стрелке, что и приводит к изгибу графика вверх.

Ответ: Если для всех $x \in (a; b)$ выполняется условие $f''(x) < 0$, то график функции $y=f(x)$ на интервале $(a; b)$ выпуклый вверх.

Выпуклость вниз

График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вниз (или просто выпуклым) на интервале $(a; b)$, если он на всем этом интервале расположен не ниже любой своей касательной (за исключением точки касания). Геометрически это означает, что кривая изгибается в направлении положительной части оси $Oy$, образуя форму, похожую на чашу (∪).

Правило для определения выпуклости вниз следующее: если вторая производная функции положительна для всех значений $x$ из интервала $(a; b)$, то есть $f''(x) > 0$ при $x \in (a; b)$, то график функции на этом интервале является выпуклым вниз.

Это объясняется тем, что положительность второй производной $f''(x)$ означает, что первая производная $f'(x)$ является возрастающей функцией. По мере увеличения $x$ наклон касательной увеличивается, то есть касательная поворачивается против часовой стрелки, что и приводит к изгибу графика вниз.

Ответ: Если для всех $x \in (a; b)$ выполняется условие $f''(x) > 0$, то график функции $y=f(x)$ на интервале $(a; b)$ выпуклый вниз.