Номер 5.73, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.73, страница 140.
№5.73 (с. 140)
Условие. №5.73 (с. 140)
скриншот условия

5.73° Объясните, как по знаку второй производной функции $y = f(x)$ на интервале $(a; b)$ определить выпуклость вверх (вниз) графика этой функции на интервале $(a; b)$.
Решение 1. №5.73 (с. 140)

Решение 2. №5.73 (с. 140)

Решение 4. №5.73 (с. 140)
Для определения направления выпуклости графика функции $y = f(x)$, которая является дважды дифференцируемой на интервале $(a; b)$, используется знак ее второй производной $f''(x)$. Существует прямая связь между знаком второй производной и формой графика функции на данном интервале.
Выпуклость вверх
График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вверх (или вогнутым) на интервале $(a; b)$, если он на всем этом интервале расположен не выше любой своей касательной (за исключением точки касания). Геометрически это означает, что кривая изгибается в направлении отрицательной части оси $Oy$, образуя форму, похожую на арку (∩).
Правило для определения выпуклости вверх следующее: если вторая производная функции отрицательна для всех значений $x$ из интервала $(a; b)$, то есть $f''(x) < 0$ при $x \in (a; b)$, то график функции на этом интервале является выпуклым вверх.
Это объясняется тем, что отрицательность второй производной $f''(x)$ означает, что первая производная $f'(x)$ (которая характеризует угловой коэффициент касательной к графику) является убывающей функцией. По мере увеличения $x$ наклон касательной уменьшается, то есть касательная поворачивается по часовой стрелке, что и приводит к изгибу графика вверх.
Ответ: Если для всех $x \in (a; b)$ выполняется условие $f''(x) < 0$, то график функции $y=f(x)$ на интервале $(a; b)$ выпуклый вверх.
Выпуклость вниз
График функции $y=f(x)$ называется выпуклым вниз (или просто выпуклым) на интервале $(a; b)$, если он на всем этом интервале расположен не ниже любой своей касательной (за исключением точки касания). Геометрически это означает, что кривая изгибается в направлении положительной части оси $Oy$, образуя форму, похожую на чашу (∪).
Правило для определения выпуклости вниз следующее: если вторая производная функции положительна для всех значений $x$ из интервала $(a; b)$, то есть $f''(x) > 0$ при $x \in (a; b)$, то график функции на этом интервале является выпуклым вниз.
Это объясняется тем, что положительность второй производной $f''(x)$ означает, что первая производная $f'(x)$ является возрастающей функцией. По мере увеличения $x$ наклон касательной увеличивается, то есть касательная поворачивается против часовой стрелки, что и приводит к изгибу графика вниз.
Ответ: Если для всех $x \in (a; b)$ выполняется условие $f''(x) > 0$, то график функции $y=f(x)$ на интервале $(a; b)$ выпуклый вниз.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.73 расположенного на странице 140 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.73 (с. 140), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.