Номер 5.68, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.68, страница 136.
№5.68 (с. 136)
Условие. №5.68 (с. 136)
скриншот условия

5.68 Найдите производную порядка 200 функции:
а) $f(x) = \sin x$;
б) $f(x) = \cos x$;
в) $f(x) = e^x$.
Решение 1. №5.68 (с. 136)



Решение 2. №5.68 (с. 136)

Решение 4. №5.68 (с. 136)
a) $f(x) = \sin x$
Чтобы найти производную 200-го порядка функции $f(x) = \sin x$, мы можем найти несколько первых производных и выявить закономерность.
Первая производная: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$
Вторая производная: $f''(x) = (\cos x)' = -\sin x$
Третья производная: $f'''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$
Четвертая производная: $f^{(4)}(x) = (-\cos x)' = \sin x$
Пятая производная: $f^{(5)}(x) = (\sin x)' = \cos x$
Мы видим, что производные повторяются с циклом в 4 шага. Четвертая производная равна исходной функции. Это означает, что для любого натурального $k$, производная порядка $4k$ будет равна $\sin x$. Нам нужно найти производную 200-го порядка. Поскольку 200 делится на 4 без остатка:
$200 = 4 \cdot 50$
Это означает, что 200-я производная будет такой же, как и 4-я, то есть $\sin x$.
Другой способ — использовать общую формулу для n-ой производной синуса: $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$.
Подставим $n=200$:
$f^{(200)}(x) = \sin(x + \frac{200\pi}{2}) = \sin(x + 100\pi)$
Так как функция синус имеет период $2\pi$, и $100\pi$ является целым кратным $2\pi$ ($100\pi = 50 \cdot 2\pi$), то $\sin(x + 100\pi) = \sin x$.
Ответ: $f^{(200)}(x) = \sin x$
б) $f(x) = \cos x$
Аналогично предыдущему пункту, найдем несколько первых производных для функции $f(x) = \cos x$.
Первая производная: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$
Вторая производная: $f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$
Третья производная: $f'''(x) = (-\cos x)' = \sin x$
Четвертая производная: $f^{(4)}(x) = (\sin x)' = \cos x$
Здесь также наблюдается цикличность с периодом 4, и четвертая производная возвращает нас к исходной функции. Поскольку 200 делится на 4 нацело ($200 = 4 \cdot 50$), 200-я производная будет совпадать с 4-й производной.
Следовательно, $f^{(200)}(x) = \cos x$.
Можно также использовать общую формулу для n-ой производной косинуса: $(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$.
Подставим $n=200$:
$f^{(200)}(x) = \cos(x + \frac{200\pi}{2}) = \cos(x + 100\pi)$
Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(x + 100\pi) = \cos(x + 50 \cdot 2\pi) = \cos x$.
Ответ: $f^{(200)}(x) = \cos x$
в) $f(x) = e^x$
Найдем производные для функции $f(x) = e^x$. Известно, что производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе.
Первая производная: $f'(x) = (e^x)' = e^x$
Вторая производная: $f''(x) = (e^x)' = e^x$
Очевидно, что производная любого порядка для функции $f(x) = e^x$ будет равна самой функции $e^x$. Формально это можно доказать методом математической индукции.
Для любого натурального $n$: $f^{(n)}(x) = e^x$.
Следовательно, для $n=200$ производная 200-го порядка также будет равна $e^x$.
Ответ: $f^{(200)}(x) = e^x$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.68 расположенного на странице 136 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.68 (с. 136), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.