Номер 5.68, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.68, страница 136.

Условие.

5.68 Найдите производную порядка 200 функции:

а) $f(x) = \sin x$;

б) $f(x) = \cos x$;

в) $f(x) = e^x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) $f(x) = \sin x$

Чтобы найти производную 200-го порядка функции $f(x) = \sin x$, мы можем найти несколько первых производных и выявить закономерность.

Первая производная: $f'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Вторая производная: $f''(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Третья производная: $f'''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

Четвертая производная: $f^{(4)}(x) = (-\cos x)' = \sin x$

Пятая производная: $f^{(5)}(x) = (\sin x)' = \cos x$

Мы видим, что производные повторяются с циклом в 4 шага. Четвертая производная равна исходной функции. Это означает, что для любого натурального $k$, производная порядка $4k$ будет равна $\sin x$. Нам нужно найти производную 200-го порядка. Поскольку 200 делится на 4 без остатка:

$200 = 4 \cdot 50$

Это означает, что 200-я производная будет такой же, как и 4-я, то есть $\sin x$.

Другой способ — использовать общую формулу для n-ой производной синуса: $(\sin x)^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$.

Подставим $n=200$:

$f^{(200)}(x) = \sin(x + \frac{200\pi}{2}) = \sin(x + 100\pi)$

Так как функция синус имеет период $2\pi$, и $100\pi$ является целым кратным $2\pi$ ($100\pi = 50 \cdot 2\pi$), то $\sin(x + 100\pi) = \sin x$.

Ответ: $f^{(200)}(x) = \sin x$

б) $f(x) = \cos x$

Аналогично предыдущему пункту, найдем несколько первых производных для функции $f(x) = \cos x$.

Первая производная: $f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Вторая производная: $f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x$

Третья производная: $f'''(x) = (-\cos x)' = \sin x$

Четвертая производная: $f^{(4)}(x) = (\sin x)' = \cos x$

Здесь также наблюдается цикличность с периодом 4, и четвертая производная возвращает нас к исходной функции. Поскольку 200 делится на 4 нацело ($200 = 4 \cdot 50$), 200-я производная будет совпадать с 4-й производной.

Следовательно, $f^{(200)}(x) = \cos x$.

Можно также использовать общую формулу для n-ой производной косинуса: $(\cos x)^{(n)} = \cos(x + \frac{n\pi}{2})$.

Подставим $n=200$:

$f^{(200)}(x) = \cos(x + \frac{200\pi}{2}) = \cos(x + 100\pi)$

Так как функция косинус имеет период $2\pi$, то $\cos(x + 100\pi) = \cos(x + 50 \cdot 2\pi) = \cos x$.

Ответ: $f^{(200)}(x) = \cos x$

в) $f(x) = e^x$

Найдем производные для функции $f(x) = e^x$. Известно, что производная экспоненциальной функции $e^x$ равна самой себе.

Первая производная: $f'(x) = (e^x)' = e^x$

Вторая производная: $f''(x) = (e^x)' = e^x$

Очевидно, что производная любого порядка для функции $f(x) = e^x$ будет равна самой функции $e^x$. Формально это можно доказать методом математической индукции.

Для любого натурального $n$: $f^{(n)}(x) = e^x$.

Следовательно, для $n=200$ производная 200-го порядка также будет равна $e^x$.

Ответ: $f^{(200)}(x) = e^x$