Номер 5.64, страница 136 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.64, страница 136.

Условие.

5.64 Точка движется по прямой по закону $s(t)$. Выразите скорость $v$ точки и её ускорение $a$ как функцию времени $t$. Определите $v$ и $a$ в момент времени $t$, если:

a) $s(t) = 5t^2 - 10t + 1, t = 0, t = 2, t = 4;$

б) $s(t) = 2t^2 - 8t + 1, t = 0, t = 1, t = 5;$

в) $s(t) = t^3 - 2t^2 + t + 1, t = 0, t = 2, t = 3.$

Определите в каждом случае момент времени, когда скорость точки равна нулю.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Чтобы найти скорость $v(t)$ и ускорение $a(t)$ точки, движущейся по закону $s(t)$, необходимо найти первую и вторую производные функции $s(t)$ по времени $t$.

• Скорость: $v(t) = s'(t)$
• Ускорение: $a(t) = v'(t) = s''(t)$

а)

Дан закон движения: $s(t) = 5t^2 - 10t + 1$.

1. Выразим скорость $v$ и ускорение $a$ как функции времени $t$.

Скорость $v(t)$ равна первой производной от $s(t)$:

$v(t) = s'(t) = (5t^2 - 10t + 1)' = 5 \cdot 2t - 10 = 10t - 10$.

Ускорение $a(t)$ равно первой производной от $v(t)$:

$a(t) = v'(t) = (10t - 10)' = 10$.

2. Определим $v$ и $a$ в моменты времени $t=0, t=2, t=4$.

При $t=0$:

$v(0) = 10(0) - 10 = -10$.

$a(0) = 10$.

При $t=2$:

$v(2) = 10(2) - 10 = 20 - 10 = 10$.

$a(2) = 10$.

При $t=4$:

$v(4) = 10(4) - 10 = 40 - 10 = 30$.

$a(4) = 10$.

3. Определим момент времени, когда скорость точки равна нулю.

Приравняем $v(t)$ к нулю:

$10t - 10 = 0 \implies 10t = 10 \implies t = 1$.

Ответ: $v(t) = 10t - 10$, $a(t) = 10$. При $t=0$: $v=-10$, $a=10$. При $t=2$: $v=10$, $a=10$. При $t=4$: $v=30$, $a=10$. Скорость равна нулю при $t=1$.

б)

Дан закон движения: $s(t) = 2t^2 - 8t + 1$.

1. Выразим скорость $v$ и ускорение $a$ как функции времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (2t^2 - 8t + 1)' = 4t - 8$.

$a(t) = v'(t) = (4t - 8)' = 4$.

2. Определим $v$ и $a$ в моменты времени $t=0, t=1, t=5$.

При $t=0$:

$v(0) = 4(0) - 8 = -8$.

$a(0) = 4$.

При $t=1$:

$v(1) = 4(1) - 8 = -4$.

$a(1) = 4$.

При $t=5$:

$v(5) = 4(5) - 8 = 20 - 8 = 12$.

$a(5) = 4$.

3. Определим момент времени, когда скорость точки равна нулю.

$v(t) = 0 \implies 4t - 8 = 0 \implies 4t = 8 \implies t = 2$.

Ответ: $v(t) = 4t - 8$, $a(t) = 4$. При $t=0$: $v=-8$, $a=4$. При $t=1$: $v=-4$, $a=4$. При $t=5$: $v=12$, $a=4$. Скорость равна нулю при $t=2$.

в)

Дан закон движения: $s(t) = t^3 - 2t^2 + t + 1$.

1. Выразим скорость $v$ и ускорение $a$ как функции времени $t$.

$v(t) = s'(t) = (t^3 - 2t^2 + t + 1)' = 3t^2 - 4t + 1$.

$a(t) = v'(t) = (3t^2 - 4t + 1)' = 6t - 4$.

2. Определим $v$ и $a$ в моменты времени $t=0, t=2, t=3$.

При $t=0$:

$v(0) = 3(0)^2 - 4(0) + 1 = 1$.

$a(0) = 6(0) - 4 = -4$.

При $t=2$:

$v(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 8 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5$.

$a(2) = 6(2) - 4 = 12 - 4 = 8$.

При $t=3$:

$v(3) = 3(3)^2 - 4(3) + 1 = 3 \cdot 9 - 12 + 1 = 27 - 12 + 1 = 16$.

$a(3) = 6(3) - 4 = 18 - 4 = 14$.

3. Определим момент времени, когда скорость точки равна нулю.

$v(t) = 0 \implies 3t^2 - 4t + 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.

$t_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 2}{6}$.

$t_1 = \frac{4+2}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

$t_2 = \frac{4-2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $v(t) = 3t^2 - 4t + 1$, $a(t) = 6t - 4$. При $t=0$: $v=1$, $a=-4$. При $t=2$: $v=5$, $a=8$. При $t=3$: $v=16$, $a=14$. Скорость равна нулю при $t=1/3$ и $t=1$.