Номер 5.71, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.71, страница 137.
№5.71 (с. 137)
Условие. №5.71 (с. 137)
скриншот условия

5.71* Найдите производную порядка n функции $f(x) = (x + a)^m$, где $m \in N$, $m > n$.
Решение 1. №5.71 (с. 137)

Решение 2. №5.71 (с. 137)

Решение 4. №5.71 (с. 137)
Для нахождения производной порядка $n$ для функции $f(x) = (x+a)^m$, где $m \in \mathbb{N}$ и $m > n$, мы будем последовательно дифференцировать функцию и искать закономерность.
1. Первая производная:
Используем правило дифференцирования степенной функции и правило цепочки.$f'(x) = \frac{d}{dx}((x+a)^m) = m \cdot (x+a)^{m-1} \cdot (x+a)' = m(x+a)^{m-1} \cdot 1 = m(x+a)^{m-1}$.
2. Вторая производная:
Дифференцируем первую производную:$f''(x) = \frac{d}{dx}(m(x+a)^{m-1}) = m \cdot (m-1)(x+a)^{m-2}$.
3. Третья производная:
Дифференцируем вторую производную:$f'''(x) = \frac{d}{dx}(m(m-1)(x+a)^{m-2}) = m(m-1)(m-2)(x+a)^{m-3}$.
Проанализировав первые три производные, можно заметить общую закономерность. При взятии производной $k$-го порядка:
- Показатель степени у скобки $(x+a)$ становится равным $m-k$.
- Коэффициент перед скобкой представляет собой произведение $k$ последовательных целых чисел, начиная с $m$ и убывая: $m(m-1)(m-2)...(m-k+1)$.
Применяя эту закономерность для производной порядка $n$, получаем:
$f^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1)(x+a)^{m-n}$.
Коэффициент $m(m-1)...(m-n+1)$ является числом размещений из $m$ по $n$, которое можно выразить через факториалы:
$m(m-1)...(m-n+1) = \frac{m \cdot (m-1) \cdot ... \cdot (m-n+1) \cdot (m-n)!}{(m-n)!} = \frac{m!}{(m-n)!}$.
Так как по условию $m > n$, то $m-n \ge 1$, и выражение $(m-n)!$ определено корректно.
Таким образом, формула для производной $n$-го порядка имеет вид:
$f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}(x+a)^{m-n}$.
Ответ: $f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}(x+a)^{m-n}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.71 расположенного на странице 137 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.71 (с. 137), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.