Номер 5.71, страница 137 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.71, страница 137.

Условие.

5.71* Найдите производную порядка n функции $f(x) = (x + a)^m$, где $m \in N$, $m > n$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для нахождения производной порядка $n$ для функции $f(x) = (x+a)^m$, где $m \in \mathbb{N}$ и $m > n$, мы будем последовательно дифференцировать функцию и искать закономерность.

1. Первая производная:
Используем правило дифференцирования степенной функции и правило цепочки.$f'(x) = \frac{d}{dx}((x+a)^m) = m \cdot (x+a)^{m-1} \cdot (x+a)' = m(x+a)^{m-1} \cdot 1 = m(x+a)^{m-1}$.

2. Вторая производная:
Дифференцируем первую производную:$f''(x) = \frac{d}{dx}(m(x+a)^{m-1}) = m \cdot (m-1)(x+a)^{m-2}$.

3. Третья производная:
Дифференцируем вторую производную:$f'''(x) = \frac{d}{dx}(m(m-1)(x+a)^{m-2}) = m(m-1)(m-2)(x+a)^{m-3}$.

Проанализировав первые три производные, можно заметить общую закономерность. При взятии производной $k$-го порядка:

• Показатель степени у скобки $(x+a)$ становится равным $m-k$.
• Коэффициент перед скобкой представляет собой произведение $k$ последовательных целых чисел, начиная с $m$ и убывая: $m(m-1)(m-2)...(m-k+1)$.

Применяя эту закономерность для производной порядка $n$, получаем:

$f^{(n)}(x) = m(m-1)(m-2)...(m-n+1)(x+a)^{m-n}$.

Коэффициент $m(m-1)...(m-n+1)$ является числом размещений из $m$ по $n$, которое можно выразить через факториалы:

$m(m-1)...(m-n+1) = \frac{m \cdot (m-1) \cdot ... \cdot (m-n+1) \cdot (m-n)!}{(m-n)!} = \frac{m!}{(m-n)!}$.

Так как по условию $m > n$, то $m-n \ge 1$, и выражение $(m-n)!$ определено корректно.

Таким образом, формула для производной $n$-го порядка имеет вид:

$f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}(x+a)^{m-n}$.

Ответ: $f^{(n)}(x) = \frac{m!}{(m-n)!}(x+a)^{m-n}$.