Номер 5.74, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 5. Применение производной. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 5.74, страница 140.
№5.74 (с. 140)
Условие. №5.74 (с. 140)
скриншот условия

5.74° Объясните, как по знаку второй производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, в которой $f'(x_0) = 0$, определить вид локального экстремума этой функции в точке $x_0$.
Решение 1. №5.74 (с. 140)

Решение 2. №5.74 (с. 140)

Решение 4. №5.74 (с. 140)
Для определения вида локального экстремума функции $y = f(x)$ в стационарной точке $x_0$ (то есть в точке, где первая производная равна нулю, $f'(x_0) = 0$), используется так называемый второй достаточный признак (или тест) локального экстремума. Этот метод основан на анализе знака второй производной функции в данной точке.
Предполагается, что функция $f(x)$ является дважды дифференцируемой в некоторой окрестности точки $x_0$ и её вторая производная $f''(x)$ непрерывна в самой точке $x_0$. Алгоритм определения вида экстремума следующий:
- Находится вторая производная функции, $f''(x)$.
- Вычисляется значение второй производной в стационарной точке $x_0$, то есть находится $f''(x_0)$.
- Анализируется знак полученного значения $f''(x_0)$:
- Если $f''(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум.
Объяснение: Положительный знак второй производной означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым вниз (вогнутым). Так как в этой точке касательная к графику горизонтальна ($f'(x_0) = 0$), то точка $x_0$ является точкой локального минимума. Иными словами, вторая производная $f''(x)$ показывает скорость изменения первой производной $f'(x)$. Если $f''(x_0) > 0$, то первая производная $f'(x)$ возрастает в точке $x_0$. Поскольку $f'(x_0) = 0$, это означает, что при переходе через точку $x_0$ знак $f'(x)$ меняется с «-» на «+», что является признаком точки минимума. - Если $f''(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум.
Объяснение: Отрицательный знак второй производной означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым вверх (выпуклым). При наличии горизонтальной касательной ($f'(x_0) = 0$) это соответствует точке локального максимума. Аналогично, если $f''(x_0) < 0$, то первая производная $f'(x)$ убывает в точке $x_0$. Следовательно, при переходе через точку $x_0$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «-», что является признаком точки максимума. - Если $f''(x_0) = 0$, то данный тест не позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. В этой ситуации точка $x_0$ может быть как точкой экстремума, так и точкой перегиба. Для выяснения характера точки $x_0$ необходимо провести дополнительное исследование (например, проанализировать знаки первой производной слева и справа от $x_0$ или исследовать производные более высоких порядков).
- Если $f''(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум.
Таким образом, знак второй производной в стационарной точке, если он отличен от нуля, напрямую указывает на вид локального экстремума (направление выпуклости графика в этой точке).
Ответ: Если в точке $x_0$, для которой выполнено условие $f'(x_0)=0$, вторая производная $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Если $f''(x_0) = 0$, то на основании второй производной вывод о характере точки $x_0$ сделать нельзя.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 5.74 расположенного на странице 140 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №5.74 (с. 140), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.