Номер 5.74, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.74, страница 140.

Условие.

5.74° Объясните, как по знаку второй производной функции $y = f(x)$ в точке $x_0$, в которой $f'(x_0) = 0$, определить вид локального экстремума этой функции в точке $x_0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для определения вида локального экстремума функции $y = f(x)$ в стационарной точке $x_0$ (то есть в точке, где первая производная равна нулю, $f'(x_0) = 0$), используется так называемый второй достаточный признак (или тест) локального экстремума. Этот метод основан на анализе знака второй производной функции в данной точке.

Предполагается, что функция $f(x)$ является дважды дифференцируемой в некоторой окрестности точки $x_0$ и её вторая производная $f''(x)$ непрерывна в самой точке $x_0$. Алгоритм определения вида экстремума следующий:

1. Находится вторая производная функции, $f''(x)$.
2. Вычисляется значение второй производной в стационарной точке $x_0$, то есть находится $f''(x_0)$.
3. Анализируется знак полученного значения $f''(x_0)$:
   • Если $f''(x_0) > 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный минимум.
     Объяснение: Положительный знак второй производной означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым вниз (вогнутым). Так как в этой точке касательная к графику горизонтальна ($f'(x_0) = 0$), то точка $x_0$ является точкой локального минимума. Иными словами, вторая производная $f''(x)$ показывает скорость изменения первой производной $f'(x)$. Если $f''(x_0) > 0$, то первая производная $f'(x)$ возрастает в точке $x_0$. Поскольку $f'(x_0) = 0$, это означает, что при переходе через точку $x_0$ знак $f'(x)$ меняется с «-» на «+», что является признаком точки минимума.
   • Если $f''(x_0) < 0$, то в точке $x_0$ функция имеет локальный максимум.
     Объяснение: Отрицательный знак второй производной означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым вверх (выпуклым). При наличии горизонтальной касательной ($f'(x_0) = 0$) это соответствует точке локального максимума. Аналогично, если $f''(x_0) < 0$, то первая производная $f'(x)$ убывает в точке $x_0$. Следовательно, при переходе через точку $x_0$ знак $f'(x)$ меняется с «+» на «-», что является признаком точки максимума.
   • Если $f''(x_0) = 0$, то данный тест не позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии экстремума. В этой ситуации точка $x_0$ может быть как точкой экстремума, так и точкой перегиба. Для выяснения характера точки $x_0$ необходимо провести дополнительное исследование (например, проанализировать знаки первой производной слева и справа от $x_0$ или исследовать производные более высоких порядков).

Таким образом, знак второй производной в стационарной точке, если он отличен от нуля, напрямую указывает на вид локального экстремума (направление выпуклости графика в этой точке).

Ответ: Если в точке $x_0$, для которой выполнено условие $f'(x_0)=0$, вторая производная $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Если $f''(x_0) = 0$, то на основании второй производной вывод о характере точки $x_0$ сделать нельзя.