Номер 5.80, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 5. Применение производной - номер 5.80, страница 144.

Условие.

5.80 Если на промежутке $I$ с концами $a$ и $b$ функция $f(x)$ непрерывна, а её производная $f'(x)$ существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала $(a; b)$, кроме точки $x_0$, в которой производная не существует, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для определения того, является ли критическая точка $x_0$ (в которой производная не существует) точкой максимума или минимума для непрерывной функции $f(x)$, необходимо применить достаточное условие экстремума (также известное как первый тест производной). Этот метод применим, поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, даже если ее производная в этой точке не существует.

По условию, производная $f'(x)$ существует, непрерывна и не равна нулю на интервалах $(a, x_0)$ и $(x_0, b)$. Из-за непрерывности и отсутствия нулей, производная $f'(x)$ сохраняет постоянный знак на каждом из этих двух интервалов. Это означает, что на каждом из интервалов — $(a, x_0)$ и $(x_0, b)$ — функция $f(x)$ является монотонной (либо только возрастает, либо только убывает).

Таким образом, алгоритм для определения наличия и типа экстремума в точке $x_0$ заключается в исследовании знака производной слева и справа от этой точки:

1. Определить знак производной $f'(x)$ на интервале $(a, x_0)$. Для этого достаточно вычислить значение $f'(x_1)$ в любой пробной точке $x_1$, принадлежащей этому интервалу $(a < x_1 < x_0)$.
2. Определить знак производной $f'(x)$ на интервале $(x_0, b)$. Для этого достаточно вычислить значение $f'(x_2)$ в любой пробной точке $x_2$, принадлежащей этому интервалу $(x_0 < x_2 < b)$.
3. Проанализировать смену знака производной при переходе через точку $x_0$.

Существуют три возможных сценария:

• Максимум. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус (то есть $f'(x_1) > 0$ и $f'(x_2) < 0$), то в точке $x_0$ функция $f(x)$ достигает локального максимума. Это значит, что слева от $x_0$ функция возрастала, а справа — убывает.
• Минимум. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс (то есть $f'(x_1) < 0$ и $f'(x_2) > 0$), то в точке $x_0$ функция $f(x)$ достигает локального минимума. Это значит, что слева от $x_0$ функция убывала, а справа — возрастает.
• Экстремума нет. Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак (то есть знаки $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$ одинаковы), то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Необходимо исследовать знак производной $f'(x)$ в точках слева и справа от критической точки $x_0$. Если знак производной меняется с «+» на «–», то в точке $x_0$ — максимум. Если знак меняется с «–» на «+», то в точке $x_0$ — минимум. Если знак не меняется, то экстремума в этой точке нет.