Страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.79° Если на промежутке $I$ с концами $a$ и $b$ функция $f(x)$ непрерывна вместе со своей производной $f'(x)$ и $x_0$ — единственная её критическая точка на интервале $(a; b)$, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке?

Для определения, достигает ли функция $f(x)$ своего максимума или минимума на промежутке $I$ в единственной критической точке $x_0$, необходимо выяснить, является ли эта точка точкой локального экстремума (максимума или минимума). Ключевым условием задачи является то, что $x_0$ — единственная критическая точка на интервале $(a, b)$.

Если непрерывная функция имеет на промежутке только одну точку локального экстремума, то этот локальный экстремум обязательно является и глобальным (абсолютным) экстремумом на этом промежутке. Это связано с тем, что производная $f'(x)$ (которая по условию непрерывна) обращается в ноль только в точке $x_0$ и, следовательно, сохраняет постоянный знак на интервалах $(a, x_0)$ и $(x_0, b)$. Это означает, что функция $f(x)$ строго монотонна на каждом из этих интервалов. Например, если $x_0$ — точка локального максимума, то функция возрастает на $(a, x_0)$ и убывает на $(x_0, b)$, и, следовательно, $f(x_0)$ является наибольшим значением на всем промежутке $I$. Аналогичное рассуждение справедливо и для минимума.

Таким образом, задача сводится к определению характера экстремума в точке $x_0$. Для этого можно использовать один из двух стандартных методов.

Этот метод основан на первом достаточном условии экстремума. Необходимо исследовать знак производной $f'(x)$ в точках, расположенных слева и справа от $x_0$. Для этого выбирают две произвольные точки: $c_1$ такую, что $a < c_1 < x_0$, и $c_2$ такую, что $x_0 < c_2 < b$.

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то есть $f'(c_1) > 0$ и $f'(c_2) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего максимума на всем промежутке $I$.
• Если производная меняет знак с минуса на плюс, то есть $f'(c_1) < 0$ и $f'(c_2) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего минимума на всем промежутке $I$.
• Если производная не меняет знак при переходе через точку $x_0$ (например, $f'(c_1) > 0$ и $f'(c_2) > 0$), то в точке $x_0$ экстремума нет. В этом случае функция монотонна на всем промежутке, и ее экстремумы (если они существуют) достигаются на концах промежутка $a$ и $b$.

Если функция $f(x)$ имеет вторую производную $f''(x)$, можно использовать второй достаточный признак экстремума. Для этого нужно найти вторую производную и определить ее знак в точке $x_0$.

• Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ является точкой локального максимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего максимума на всем промежутке $I$.
• Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ является точкой локального минимума. Следовательно, в этой точке функция достигает своего минимума на всем промежутке $I$.
• Если $f''(x_0) = 0$, то этот признак не дает ответа о характере критической точки, и следует использовать первый способ.

Ответ: Чтобы определить, достигает ли функция в своей единственной критической точке $x_0$ максимума или минимума на данном промежутке, нужно установить характер этой точки (является ли она точкой локального максимума или минимума). Если $x_0$ — точка локального максимума, то она является и точкой абсолютного максимума на всем промежутке. Если $x_0$ — точка локального минимума, то она является и точкой абсолютного минимума на всем промежутке. Характер точки $x_0$ можно определить либо по знаку производной $f'(x)$ слева и справа от нее, либо по знаку второй производной $f''(x_0)$.

5.80 Если на промежутке $I$ с концами $a$ и $b$ функция $f(x)$ непрерывна, а её производная $f'(x)$ существует, непрерывна и отлична от нуля во всех точках интервала $(a; b)$, кроме точки $x_0$, в которой производная не существует, то как определить, достигает ли функция в этой критической точке максимума (минимума) на этом промежутке?

Для определения того, является ли критическая точка $x_0$ (в которой производная не существует) точкой максимума или минимума для непрерывной функции $f(x)$, необходимо применить достаточное условие экстремума (также известное как первый тест производной). Этот метод применим, поскольку функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, даже если ее производная в этой точке не существует.

По условию, производная $f'(x)$ существует, непрерывна и не равна нулю на интервалах $(a, x_0)$ и $(x_0, b)$. Из-за непрерывности и отсутствия нулей, производная $f'(x)$ сохраняет постоянный знак на каждом из этих двух интервалов. Это означает, что на каждом из интервалов — $(a, x_0)$ и $(x_0, b)$ — функция $f(x)$ является монотонной (либо только возрастает, либо только убывает).

Таким образом, алгоритм для определения наличия и типа экстремума в точке $x_0$ заключается в исследовании знака производной слева и справа от этой точки:

1. Определить знак производной $f'(x)$ на интервале $(a, x_0)$. Для этого достаточно вычислить значение $f'(x_1)$ в любой пробной точке $x_1$, принадлежащей этому интервалу $(a < x_1 < x_0)$.
2. Определить знак производной $f'(x)$ на интервале $(x_0, b)$. Для этого достаточно вычислить значение $f'(x_2)$ в любой пробной точке $x_2$, принадлежащей этому интервалу $(x_0 < x_2 < b)$.
3. Проанализировать смену знака производной при переходе через точку $x_0$.

Существуют три возможных сценария:

• Максимум. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет знак с плюса на минус (то есть $f'(x_1) > 0$ и $f'(x_2) < 0$), то в точке $x_0$ функция $f(x)$ достигает локального максимума. Это значит, что слева от $x_0$ функция возрастала, а справа — убывает.
• Минимум. Если при переходе через точку $x_0$ слева направо производная $f'(x)$ меняет знак с минуса на плюс (то есть $f'(x_1) < 0$ и $f'(x_2) > 0$), то в точке $x_0$ функция $f(x)$ достигает локального минимума. Это значит, что слева от $x_0$ функция убывала, а справа — возрастает.
• Экстремума нет. Если при переходе через точку $x_0$ производная $f'(x)$ не меняет свой знак (то есть знаки $f'(x_1)$ и $f'(x_2)$ одинаковы), то в точке $x_0$ экстремума нет.

Ответ: Необходимо исследовать знак производной $f'(x)$ в точках слева и справа от критической точки $x_0$. Если знак производной меняется с «+» на «–», то в точке $x_0$ — максимум. Если знак меняется с «–» на «+», то в точке $x_0$ — минимум. Если знак не меняется, то экстремума в этой точке нет.

5.81 Как с помощью второй производной определить, является ли данная критическая точка точкой максимума (минимума) на промежутке?

Для того чтобы с помощью второй производной определить, является ли критическая точка точкой максимума или минимума, используется тест второй производной. Этот метод применим, если функция $f(x)$ является дважды дифференцируемой в окрестности критической точки $x_0$, в которой ее первая производная равна нулю ($f'(x_0) = 0$). Алгоритм состоит из следующих шагов.

Шаг 1: Нахождение производных
Сначала находят первую производную $f'(x)$ и вторую производную $f''(x)$ функции.

Шаг 2: Нахождение критических точек
Решают уравнение $f'(x) = 0$, чтобы найти критические точки. Пусть $x_0$ — одна из таких точек.

Шаг 3: Проверка знака второй производной
Вычисляют значение второй производной в критической точке $x_0$ и анализируют ее знак:

• Если $f''(x_0) > 0$ (вторая производная в точке $x_0$ положительна), то в этой точке функция $f(x)$ имеет локальный минимум. Геометрически это означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является вогнутым (направлен выпуклостью вниз), напоминая чашу.
• Если $f''(x_0) < 0$ (вторая производная в точке $x_0$ отрицательна), то в этой точке функция $f(x)$ имеет локальный максимум. Геометрически это означает, что график функции в окрестности точки $x_0$ является выпуклым (направлен выпуклостью вверх), напоминая холм.
• Если $f''(x_0) = 0$, то тест с помощью второй производной не дает ответа о характере критической точки. В этой точке может быть как максимум или минимум, так и точка перегиба. Для дальнейшего исследования необходимо использовать другие методы, например, тест первой производной (анализ знака $f'(x)$ слева и справа от точки $x_0$) или исследовать производные более высоких порядков.

Важно отметить, что этот тест определяет только локальные экстремумы (максимумы и минимумы в некоторой малой окрестности точки). Для нахождения глобальных (абсолютных) экстремумов на замкнутом промежутке $[a, b]$ необходимо сравнить значения функции в точках локальных экстремумов, найденных внутри промежутка, со значениями функции на его концах, то есть $f(a)$ и $f(b)$.

Ответ: Чтобы определить характер критической точки $x_0$ (где $f'(x_0)=0$) с помощью второй производной, нужно вычислить значение второй производной $f''(x_0)$ в этой точке. Если $f''(x_0) > 0$, то $x_0$ — точка локального минимума. Если $f''(x_0) < 0$, то $x_0$ — точка локального максимума. Если $f''(x_0) = 0$, то тест не дает результата, и требуется дополнительное исследование.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x)$ на указанном промежутке (5.82–5.85), если:

5.82 а) $f(x) = x + \frac{4}{x}$, $(0; +\infty);$

б) $f(x) = x + \frac{4}{x}$, $(-\infty; 0);$

в) $f(x) = 8x^2 - \frac{1}{4x}$, $(-\infty; 0);$

г) $f(x) = 8x^2 + \frac{1}{4x}$, $(0; +\infty).$

а) $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на промежутке $(0; +\infty)$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции найдем ее производную и критические точки.

1. Производная функции:
$f'(x) = (x + \frac{4}{x})' = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2}$.

2. Приравняем производную к нулю для поиска критических точек:
$f'(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 4}{x^2} = 0$.
Так как $x \neq 0$, то $x^2 - 4 = 0$, откуда $x = 2$ или $x = -2$.

3. Заданному промежутку $(0; +\infty)$ принадлежит только одна критическая точка $x = 2$.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые точка $x=2$ разбивает область определения:
- На интервале $(0; 2)$, например, при $x=1$, $f'(1) = 1 - \frac{4}{1^2} = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.
- На интервале $(2; +\infty)$, например, при $x=4$, $f'(4) = 1 - \frac{4}{4^2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} > 0$, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, в точке $x=2$ функция имеет минимум. Это единственная точка экстремума на промежутке, поэтому в ней достигается наименьшее значение функции.
$f_{min} = f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4$.

5. Найдем пределы функции на границах промежутка:
$\lim_{x \to 0^+} (x + \frac{4}{x}) = 0 + \infty = +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} (x + \frac{4}{x}) = \infty + 0 = +\infty$.
Поскольку функция стремится к $+\infty$ на границах промежутка, наибольшего значения она не имеет.

Ответ: наименьшее значение функции равно 4, наибольшего значения не существует.

б) $f(x) = x + \frac{4}{x}$ на промежутке $(-\infty; 0)$

1. Производная функции и критические точки такие же, как в пункте а):
$f'(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2}$, критические точки $x = 2$ и $x = -2$.

2. Заданному промежутку $(-\infty; 0)$ принадлежит только одна критическая точка $x = -2$.

3. Исследуем знак производной:
- На интервале $(-\infty; -2)$, например, при $x=-3$, $f'(-3) = 1 - \frac{4}{(-3)^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} > 0$, следовательно, функция возрастает.
- На интервале $(-2; 0)$, например, при $x=-1$, $f'(-1) = 1 - \frac{4}{(-1)^2} = 1 - 4 = -3 < 0$, следовательно, функция убывает.

Таким образом, в точке $x=-2$ функция имеет максимум. Это единственная точка экстремума, поэтому в ней достигается наибольшее значение.
$f_{max} = f(-2) = -2 + \frac{4}{-2} = -2 - 2 = -4$.

4. Найдем пределы функции на границах промежутка:
$\lim_{x \to -\infty} (x + \frac{4}{x}) = -\infty + 0 = -\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (x + \frac{4}{x}) = 0 - \infty = -\infty$.
Поскольку функция стремится к $-\infty$ на границах, наименьшего значения она не имеет.

Ответ: наибольшее значение функции равно -4, наименьшего значения не существует.

в) $f(x) = 8x^2 - \frac{1}{4x}$ на промежутке $(-\infty; 0)$

1. Производная функции:
$f'(x) = (8x^2 - \frac{1}{4}x^{-1})' = 16x - \frac{1}{4}(-1)x^{-2} = 16x + \frac{1}{4x^2} = \frac{64x^3 + 1}{4x^2}$.

2. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 64x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -\frac{1}{64} \implies x = -\frac{1}{4}$.

3. Точка $x = -1/4$ принадлежит промежутку $(-\infty; 0)$.

4. Исследуем знак производной:
- На интервале $(-\infty; -1/4)$, например, при $x=-1$, $f'(-1) = 16(-1) + \frac{1}{4(-1)^2} = -16 + \frac{1}{4} < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1/4; 0)$, например, при $x=-0.1$, $f'(-0.1) = 16(-0.1) + \frac{1}{4(-0.1)^2} = -1.6 + 25 > 0$, функция возрастает.

В точке $x = -1/4$ функция имеет минимум, который является ее наименьшим значением на промежутке.
$f_{min} = f(-\frac{1}{4}) = 8(-\frac{1}{4})^2 - \frac{1}{4(-\frac{1}{4})} = 8(\frac{1}{16}) - \frac{1}{-1} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

5. Пределы на границах:
$\lim_{x \to -\infty} (8x^2 - \frac{1}{4x}) = +\infty - 0 = +\infty$.
$\lim_{x \to 0^-} (8x^2 - \frac{1}{4x}) = 0 - (-\infty) = +\infty$.
Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{3}{2}$, наибольшего значения не существует.

г) $f(x) = 8x^2 + \frac{1}{4x}$ на промежутке $(0; +\infty)$

1. Производная функции:
$f'(x) = (8x^2 + \frac{1}{4}x^{-1})' = 16x - \frac{1}{4x^2} = \frac{64x^3 - 1}{4x^2}$.

2. Критические точки: $f'(x) = 0 \implies 64x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = \frac{1}{64} \implies x = \frac{1}{4}$.

3. Точка $x = 1/4$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$.

4. Исследуем знак производной:
- На интервале $(0; 1/4)$, например, при $x=0.1$, $f'(0.1) = 1.6 - 25 < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1/4; +\infty)$, например, при $x=1$, $f'(1) = 16 - 1/4 > 0$, функция возрастает.

В точке $x = 1/4$ функция имеет минимум, который является ее наименьшим значением на промежутке.
$f_{min} = f(\frac{1}{4}) = 8(\frac{1}{4})^2 + \frac{1}{4(\frac{1}{4})} = 8(\frac{1}{16}) + \frac{1}{1} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.

5. Пределы на границах:
$\lim_{x \to 0^+} (8x^2 + \frac{1}{4x}) = 0 + \infty = +\infty$.
$\lim_{x \to +\infty} (8x^2 + \frac{1}{4x}) = +\infty + 0 = +\infty$.
Наибольшего значения не существует.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{3}{2}$, наибольшего значения не существует.