Страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.99 На изготовление открытого бака заданного объёма $V$ в форме прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, хотят затратить наименьшее количество металла. Какова должна быть ширина и высота бака? Решите задачу в общем виде. Получите ответ в случае, если:

a) $V = 4$;

б) $V = 32$.

Пусть $x$ — сторона квадратного основания (ширина бака), а $h$ — высота бака.

Объём бака $V$ задан и вычисляется по формуле: $V = x^2 h$

Количество затраченного металла соответствует площади поверхности открытого бака. Эта площадь $S$ состоит из площади дна (квадрат со стороной $x$) и площади четырёх боковых стенок (прямоугольники со сторонами $x$ и $h$): $S = x^2 + 4xh$

Цель задачи — минимизировать функцию $S$ при заданном значении $V$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу объёма. Выразим высоту $h$: $h = \frac{V}{x^2}$

Подставим это выражение в формулу для площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $x$: $S(x) = x^2 + 4x \left(\frac{V}{x^2}\right) = x^2 + \frac{4V}{x}$

Для нахождения минимума функции $S(x)$ найдём её производную по $x$ и приравняем к нулю. $S'(x) = \frac{d}{dx} \left(x^2 + 4Vx^{-1}\right) = 2x - 4Vx^{-2} = 2x - \frac{4V}{x^2}$

Приравняем производную к нулю: $S'(x) = 0 \implies 2x - \frac{4V}{x^2} = 0$

$2x = \frac{4V}{x^2}$

$2x^3 = 4V$

$x^3 = 2V$

Отсюда находим значение ширины $x$, при котором расход материала будет минимальным: $x = \sqrt[3]{2V}$

Чтобы убедиться, что это точка минимума, а не максимума, найдём вторую производную: $S''(x) = \frac{d}{dx} \left(2x - \frac{4V}{x^2}\right) = 2 + \frac{8V}{x^3}$

Поскольку размеры бака $x$ и его объём $V$ являются положительными величинами, $S''(x) > 0$. Это означает, что найденное значение $x$ соответствует точке минимума функции $S(x)$.

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, подставив найденное значение $x$ в выражение для $h$: $h = \frac{V}{x^2} = \frac{V}{(\sqrt[3]{2V})^2} = \frac{V}{(2V)^{2/3}} = \frac{V^1}{2^{2/3}V^{2/3}} = \frac{V^{1/3}}{2^{2/3}} = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}$

Таким образом, в общем виде ширина бака должна быть $x = \sqrt[3]{2V}$, а высота $h = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}$. Также можно заметить, что оптимальная высота ровно в два раза меньше оптимальной ширины: $h = \frac{x}{2}$.

Теперь решим задачу для конкретных значений объёма.

а) В случае, если $V = 4$:

Ширина: $x = \sqrt[3]{2V} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Высота: $h = \frac{x}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: ширина бака должна быть 2, а высота 1.

б) В случае, если $V = 32$:

Ширина: $x = \sqrt[3]{2V} = \sqrt[3]{2 \cdot 32} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Высота: $h = \frac{x}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: ширина бака должна быть 4, а высота 2.

5.100 В некотором царстве, в некотором государстве подорожала жесть, идущая на изготовление консервных банок. Экономный хозяин фабрики рыбных консервов хочет выпускать свою продукцию в банках цилиндрической формы объемом $V$ с наименьшими возможными затратами жести. Вычислите диаметр основания и высоту такой банки.

Для решения этой задачи нам необходимо найти размеры цилиндрической банки (диаметр основания и высоту), которые при заданном объеме $V$ будут иметь минимальную площадь полной поверхности. Минимальная площадь поверхности будет соответствовать наименьшим затратам жести.

Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Объем цилиндра вычисляется по формуле:
$V = \pi r^2 h$

Площадь полной поверхности цилиндра, состоящая из площади двух оснований (кругов) и площади боковой поверхности (прямоугольника), вычисляется по формуле:
$S = 2 \cdot (\pi r^2) + (2\pi r)h = 2\pi r^2 + 2\pi r h$

Наша задача — минимизировать функцию $S(r, h)$ при постоянном значении объема $V$. Для этого выразим одну переменную через другую, используя формулу объема. Выразим высоту $h$:
$h = \frac{V}{\pi r^2}$

Теперь подставим это выражение для $h$ в формулу площади поверхности, чтобы получить функцию одной переменной $r$:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$

Для нахождения минимума функции $S(r)$ найдем ее производную по $r$ и приравняем ее к нулю.
$S'(r) = \frac{d}{dr}\left(2\pi r^2 + \frac{2V}{r}\right) = (2\pi r^2)' + (2Vr^{-1})' = 4\pi r - 2Vr^{-2} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$

Приравниваем производную к нулю для поиска критических точек:
$S'(r) = 0$
$4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0$
$4\pi r = \frac{2V}{r^2}$
$4\pi r^3 = 2V$
$r^3 = \frac{2V}{4\pi} = \frac{V}{2\pi}$

Отсюда находим оптимальный радиус:
$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$

Теперь найдем соответствующую высоту $h$, используя ранее полученное соотношение $h = \frac{V}{\pi r^2}$. Мы также можем использовать найденное условие для экстремума $2V = 4\pi r^3$. Подставим $V = 2\pi r^3$:
$h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r$

Этот результат означает, что для минимизации расхода материала высота банки должна быть равна ее диаметру ($d = 2r$). Такая банка по форме напоминает куб, вписанный в сферу.

Теперь вычислим диаметр основания $d$ и высоту $h$ через заданный объем $V$.
Диаметр $d = 2r = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$. Чтобы внести 2 под корень, возведем ее в куб:
$d = \sqrt[3]{8 \cdot \frac{V}{2\pi}} = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$

Поскольку $h = 2r = d$, то высота также равна:
$h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$

Ответ: Диаметр основания и высота банки должны быть одинаковыми и равняться $d = h = \sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$.

5.101* Статуя высотой $a$ м возвышается на постаменте высотой $b$ м (рис. 131). На каком расстоянии от основания статуи должен встать наблюдатель, рост которого до уровня глаз $c$ м, $c < b$, чтобы видеть статую под наибольшим углом? Шириной постамента пренебречь. Решите задачу в общем виде, получите ответ в случае, если:

а) $a = 3, b = 2,5, c = 1,5$;

б) $a = 6, b = 3,7, c = 1,7$.

Рис. 131

Для решения задачи в общем виде введем переменные, как указано на рисунке и в условии:

• $a$ – высота статуи.
• $b$ – высота постамента.
• $c$ – рост наблюдателя до уровня глаз.
• $x$ – искомое расстояние от наблюдателя до основания статуи.

Мы хотим найти такое значение $x$, при котором угол, под которым видна статуя, будет наибольшим. Обозначим этот угол как $\gamma$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Уровень глаз наблюдателя находится на высоте $c$. Горизонтальная линия, проведенная от глаз наблюдателя до вертикали статуи, является общим катетом $x$ для двух воображаемых прямоугольных треугольников.

Пусть $\alpha_2$ – угол между горизонтальной линией и направлением взгляда на вершину статуи. Вершина статуи находится на высоте $a+b$ от земли. Таким образом, вертикальный катет для этого угла равен $(a+b-c)$. Тангенс этого угла: $ \tan(\alpha_2) = \frac{a+b-c}{x} $

Пусть $\alpha_1$ – угол между горизонтальной линией и направлением взгляда на основание статуи. Основание статуи находится на высоте $b$ от земли. Вертикальный катет для этого угла равен $(b-c)$. Тангенс этого угла: $ \tan(\alpha_1) = \frac{b-c}{x} $

Угол $\gamma$, под которым видна статуя, является разностью углов $\alpha_2$ и $\alpha_1$: $ \gamma = \alpha_2 - \alpha_1 $

Для нахождения максимума угла $\gamma$ можно искать максимум его тангенса, так как в диапазоне от $0$ до $90^\circ$ функция тангенса монотонно возрастает. Используем формулу тангенса разности: $ \tan(\gamma) = \tan(\alpha_2 - \alpha_1) = \frac{\tan(\alpha_2) - \tan(\alpha_1)}{1 + \tan(\alpha_2)\tan(\alpha_1)} $

Подставим выражения для тангенсов: $ \tan(\gamma) = \frac{\frac{a+b-c}{x} - \frac{b-c}{x}}{1 + \frac{a+b-c}{x} \cdot \frac{b-c}{x}} = \frac{\frac{a}{x}}{1 + \frac{(a+b-c)(b-c)}{x^2}} = \frac{\frac{a}{x}}{\frac{x^2 + (a+b-c)(b-c)}{x^2}} $

Упростив выражение, получим функцию $f(x) = \tan(\gamma(x))$: $ f(x) = \frac{ax}{x^2 + (a+b-c)(b-c)} $

Чтобы найти максимум этой функции, найдем ее производную по $x$ и приравняем к нулю. Для удобства обозначим константу $K = (a+b-c)(b-c)$. $ f(x) = \frac{ax}{x^2 + K} $

Используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. $ u = ax \Rightarrow u' = a $
$ v = x^2 + K \Rightarrow v' = 2x $

$ f'(x) = \frac{a(x^2 + K) - ax(2x)}{(x^2 + K)^2} = \frac{ax^2 + aK - 2ax^2}{(x^2 + K)^2} = \frac{aK - ax^2}{(x^2 + K)^2} $

Приравняем производную к нулю. Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю: $ aK - ax^2 = 0 $
$ ax^2 = aK $
$ x^2 = K $

Подставим обратно значение $K$: $ x^2 = (a+b-c)(b-c) $

Поскольку расстояние $x$ должно быть положительным, получаем общую формулу для искомого расстояния: $ x = \sqrt{(a+b-c)(b-c)} $

Теперь решим задачу для конкретных случаев.

а)

Дано: $a = 3$ м, $b = 2,5$ м, $c = 1,5$ м.
Подставим значения в общую формулу:
$ x = \sqrt{(3 + 2,5 - 1,5)(2,5 - 1,5)} $
$ x = \sqrt{(4)(1)} $
$ x = \sqrt{4} = 2 $
Ответ: 2 м.

б)

Дано: $a = 6$ м, $b = 3,7$ м, $c = 1,7$ м.
Подставим значения в общую формулу:
$ x = \sqrt{(6 + 3,7 - 1,7)(3,7 - 1,7)} $
$ x = \sqrt{(8)(2)} $
$ x = \sqrt{16} = 4 $
Ответ: 4 м.