Страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.109 a) $y = \frac{4x + 2}{x - 2}$;

б) $y = \frac{3x - 2}{2x + 2}$.

а) Для того чтобы найти функцию, обратную к функции $y = \frac{4x + 2}{x - 2}$, необходимо выразить переменную $x$ через $y$. Это стандартная процедура для нахождения обратной функции.
1. Домножим обе части уравнения на знаменатель $(x - 2)$, при условии, что $x \neq 2$ (это область определения исходной функции):
$y(x - 2) = 4x + 2$
2. Раскроем скобки в левой части уравнения:
$yx - 2y = 4x + 2$
3. Сгруппируем все слагаемые, содержащие $x$, в одной стороне уравнения, а остальные — в другой:
$yx - 4x = 2y + 2$
4. Вынесем общий множитель $x$ за скобку:
$x(y - 4) = 2y + 2$
5. Выразим $x$, разделив обе части на $(y - 4)$. Это действие возможно, если $y - 4 \neq 0$, то есть $y \neq 4$. Это условие определяет область значений исходной функции.
$x = \frac{2y + 2}{y - 4}$
6. Чтобы получить запись обратной функции в привычном виде, где аргумент обозначается как $x$, а функция как $y$, поменяем местами переменные $x$ и $y$:
$y = \frac{2x + 2}{x - 4}$
Это и есть искомая обратная функция.
Ответ: $y = \frac{2x + 2}{x - 4}$.

б) Аналогично найдем функцию, обратную к $y = \frac{3x - 2}{2x + 2}$.
1. Область определения исходной функции задается условием $2x + 2 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Домножим обе части на знаменатель $(2x + 2)$:
$y(2x + 2) = 3x - 2$
2. Раскроем скобки:
$2yx + 2y = 3x - 2$
3. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а остальные перенесем в правую:
$2yx - 3x = -2y - 2$
4. Вынесем $x$ за скобку:
$x(2y - 3) = -2y - 2$
5. Выразим $x$, разделив обе части на $(2y - 3)$. Это возможно при $2y - 3 \neq 0$, то есть $y \neq \frac{3}{2}$.
$x = \frac{-2y - 2}{2y - 3}$
Для более удобного вида можно вынести знак минус из числителя и знаменателя:
$x = \frac{-(2y + 2)}{-(3 - 2y)} = \frac{2y + 2}{3 - 2y}$
6. Поменяем местами $x$ и $y$ для получения итоговой формулы обратной функции:
$y = \frac{2x + 2}{3 - 2x}$
Это обратная функция.
Ответ: $y = \frac{2x + 2}{3 - 2x}$.

5.110 Постройте график функции:

а) $y = \left|\frac{1}{x-2}\right|$;

б) $y = \frac{1}{|x|-2}$.

а) $y = |\frac{1}{x-2}|$

Для построения графика данной функции выполним последовательность преобразований, начиная с базового графика функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Сначала построим график функции $y = \frac{1}{x}$. Это стандартная гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.

2. Далее построим график функции $y = \frac{1}{x-2}$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \frac{1}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. При этом вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$, а горизонтальная асимптота $y=0$ остается без изменений.

3. Наконец, построим итоговый график $y = |\frac{1}{x-2}|$. Применение модуля ко всей функции ($y = |f(x)|$) означает, что та часть графика функции $f(x)$, которая находится ниже оси абсцисс (Ox), симметрично отражается относительно этой оси. Часть графика, которая уже находится выше или на оси Ox, остается на своем месте.

В случае функции $y = \frac{1}{x-2}$:

• При $x > 2$, значение $x-2$ положительно, значит $y = \frac{1}{x-2} > 0$. Эта часть графика уже находится выше оси Ox и не изменяется.
• При $x < 2$, значение $x-2$ отрицательно, значит $y = \frac{1}{x-2} < 0$. Эта часть графика находится ниже оси Ox, и мы должны отразить ее симметрично относительно оси Ox.

Область определения функции находится из условия $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей гиперболы, обе из которых расположены выше оси абсцисс (в верхней полуплоскости). График имеет вертикальную асимптоту $x=2$ и горизонтальную асимптоту $y=0$.

б) $y = \frac{1}{|x|-2}$

Построение этого графика удобно выполнить, используя свойство четности функции и преобразования графиков.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $|x|-2 \neq 0$, что эквивалентно $|x| \neq 2$. Таким образом, $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность. Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{1}{|-x|-2} = \frac{1}{|x|-2} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (Oy).

3. Построение для $x \ge 0$. В силу симметрии, достаточно построить часть графика для $x \ge 0$ и затем отразить ее симметрично относительно оси Oy. При $x \ge 0$, имеем $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \frac{1}{x-2}$.

4. График $y = \frac{1}{x-2}$ при $x \ge 0$. Это часть гиперболы $y=\frac{1}{x}$, сдвинутой на 2 единицы вправо. Она состоит из двух фрагментов:

• Ветвь гиперболы при $x > 2$. Она полностью лежит в первой координатной четверти.
• Часть другой ветви гиперболы на промежутке $0 \le x < 2$. Эта часть лежит в четвертой координатной четверти и проходит через точку $(0, -0.5)$, так как $y(0)=\frac{1}{0-2}=-0.5$.

5. Построение полного графика. Теперь отражаем построенную для $x \ge 0$ часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить график для $x < 0$.

• Ветвь при $x > 2$ отразится в симметричную ей ветвь при $x < -2$.
• Фрагмент графика на промежутке $0 \le x < 2$ отразится в симметричный ему фрагмент на промежутке $-2 < x \le 0$.

В результате график будет иметь две вертикальные асимптоты ($x=-2$ и $x=2$) и одну горизонтальную асимптоту ($y=0$).

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и состоит из трех частей. Две ветви расположены в верхней полуплоскости (при $|x| > 2$). Одна ветвь расположена в нижней полуплоскости на интервале $(-2, 2)$ и имеет локальный максимум в точке $(0, -0.5)$. Вертикальными асимптотами являются прямые $x=-2$ и $x=2$, а горизонтальной асимптотой — ось Ox ($y=0$).

5.111 Постройте график функции:

а) $y = \frac{-2x + 12}{x - 4}$;

б) $y = \left|\frac{-2x + 12}{x - 4}\right|$;

В) $y = \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4}$;

Г) $y = \left|\frac{-2|x| + 12}{|x| - 4}\right|$.

а) $y = \frac{-2x + 12}{x - 4}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для построения преобразуем выражение, выделив целую часть:
$y = \frac{-2x + 8 + 4}{x - 4} = \frac{-2(x - 4) + 4}{x - 4} = \frac{-2(x - 4)}{x - 4} + \frac{4}{x - 4} = -2 + \frac{4}{x - 4}$.

Этот график можно получить из графика функции $y = \frac{4}{x}$ с помощью двух последовательных преобразований:

1. Сдвиг графика $y = \frac{4}{x}$ на 4 единицы вправо вдоль оси Ox.
2. Сдвиг полученного графика на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

Определим асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x - 4 = 0 \implies x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -2$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy ($x=0$): $y = \frac{-2(0) + 12}{0 - 4} = \frac{12}{-4} = -3$. Точка $(0, -3)$.
• С осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{-2x + 12}{x - 4} \implies -2x + 12 = 0 \implies x = 6$. Точка $(6, 0)$.

Для большей точности найдем еще несколько точек:

• При $x=2$: $y = -2 + \frac{4}{2 - 4} = -2 - 2 = -4$. Точка $(2, -4)$.
• При $x=5$: $y = -2 + \frac{4}{5 - 4} = -2 + 4 = 2$. Точка $(5, 2)$.

Теперь можно построить график. Чертим асимптоты $x=4$ и $y=-2$. Отмечаем найденные точки и проводим через них две ветви гиперболы, приближающиеся к асимптотам.

Ответ: Графиком функции является гипербола с вертикальной асимптотой $x=4$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$. Ветви гиперболы расположены в квадрантах II и IV относительно системы координат, образованной асимптотами. График проходит через точки $(0, -3)$ и $(6, 0)$.

б) $y = \left| \frac{-2x + 12}{x - 4} \right|$

График этой функции $y = |f(x)|$ можно получить из графика функции $f(x) = \frac{-2x + 12}{x - 4}$ из пункта а).

Правило построения графика $y = |f(x)|$: часть графика $y = f(x)$, расположенная выше или на оси Ox ($y \ge 0$), остается без изменений, а часть графика, расположенная ниже оси Ox ($y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox.

Из пункта а) мы знаем, что $f(x) \ge 0$ при $x \in (4, 6]$ и $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 4) \cup (6, \infty)$.

• Ветвь гиперболы на интервале $(4, 6]$ остается на месте.
• Часть ветви на интервале $(6, \infty)$ и вся ветвь на интервале $(-\infty, 4)$ отражаются симметрично относительно оси Ox.

Характеристики нового графика:

• Вертикальная асимптота: $x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: так как при $x \to \pm\infty$ функция $f(x) \to -2$, то $|f(x)| \to |-2| = 2$. Таким образом, горизонтальная асимптота — $y=2$.
• Точка пересечения с осью Ox: $(6, 0)$. В этой точке график имеет излом (острый пик).
• Точка пересечения с осью Oy: $y = |f(0)| = |-3| = 3$. Точка $(0, 3)$.
• Точка $(2, -4)$ из графика а) переходит в точку $(2, 4)$.

Ответ: График получается из графика гиперболы из пункта а) путем отражения всех частей графика, лежащих ниже оси Ox, в верхнюю полуплоскость. Вертикальная асимптота $x=4$ сохраняется. Горизонтальная асимптота становится $y=2$. График целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$) и имеет излом в точке $(6, 0)$.

в) $y = \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4}$

Эта функция является четной, так как $y(-x) = \frac{-2|-x| + 12}{|-x| - 4} = \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.

Для построения графика $y=f(|x|)$ можно построить график $y=f(x)$ (из пункта а)) для $x \ge 0$ и затем отразить эту часть симметрично относительно оси Oy.

1. При $x \ge 0$, имеем $|x|=x$, и функция совпадает с функцией из пункта а): $y = \frac{-2x + 12}{x - 4}$. Строим эту часть графика: это правая ветвь гиперболы с асимптотами $x=4$ и $y=-2$, проходящая через точки $(0,-3)$, $(5,2)$, $(6,0)$.
2. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy, чтобы получить часть графика для $x < 0$.

Характеристики итогового графика:

• Симметрия относительно оси Oy.
• Вертикальные асимптоты: $|x| - 4 = 0 \implies |x| = 4 \implies x = 4$ и $x = -4$.
• Горизонтальная асимптота: при $x \to \pm\infty$, $y \approx \frac{-2|x|}{|x|} = -2$. Асимптота $y=-2$.
• Пересечение с осью Oy: $(0, -3)$.
• Пересечение с осью Ox: $-2|x| + 12 = 0 \implies |x| = 6 \implies x=6$ и $x=-6$. Точки $(6,0)$ и $(-6,0)$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=-4$ и $x=4$, и одну горизонтальную $y=-2$. График состоит из трех частей: центральная часть между асимптотами, похожая на параболу ветвями вниз и проходящая через точку $(0,-3)$, и две боковые ветви гиперболического вида, пересекающие ось Ox в точках $(-6,0)$ и $(6,0)$.

г) $y = \left| \frac{-2|x| + 12}{|x| - 4} \right|$

Этот график можно получить двумя способами:

1. Взять график из пункта в) и применить к нему преобразование $y=|g(x)|$. То есть, отразить части графика, лежащие ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.
2. Взять график из пункта б), который является графиком функции $y=h(x)$, и построить график $y=h(|x|)$. То есть, оставить часть графика для $x \ge 0$ и отразить ее симметрично относительно оси Oy.

Воспользуемся первым способом. График функции из пункта в) лежит ниже оси Ox на интервалах $(-\infty, -6) \cup (-4, 4) \cup (6, \infty)$. Эти части мы отражаем вверх. Части на интервалах $(-6, -4) \cup (4, 6)$ лежат выше оси Ox и остаются без изменений.

Характеристики итогового графика:

• График симметричен относительно оси Oy и целиком лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).
• Вертикальные асимптоты: $x = -4$ и $x = 4$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 2$ (так как асимптота $y=-2$ из пункта в) отражается вверх).
• Пересечение с осью Oy: точка $(0,-3)$ из пункта в) отражается в точку $(0,3)$.
• Точки пересечения с осью Ox: $(-6,0)$ и $(6,0)$. В этих точках график имеет изломы.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy и расположен не ниже оси Ox. Он имеет две вертикальные асимптоты $x=-4$ и $x=4$ и одну горизонтальную $y=2$. График имеет изломы в точках $(-6,0)$ и $(6,0)$ и пересекает ось Oy в точке $(0,3)$.

5.112* Дана функция $f(x)=\frac{-3x-1}{x+1}$. Постройте график функции:

а) $y = f(x)$;

б) $y = |f(x)|$;

в) $y = f(|x|)$;

г) $y = |f(|x|)|$.

Для построения графиков функций, связанных с $f(x)$, сначала проанализируем и построим график самой функции $f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1}$.

Выделим целую часть в выражении для функции, чтобы представить ее в виде $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$:

$f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1} = \frac{-3(x + 1) + 3 - 1}{x + 1} = \frac{-3(x + 1)}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} = \frac{2}{x + 1} - 3$.

Это дробно-линейная функция, график которой — гипербола, полученная из графика $y=\frac{2}{x}$ путем сдвига на 1 единицу влево и на 3 единицы вниз.

• Вертикальная асимптота: $x = -1$.
• Горизонтальная асимптота: $y = -3$.
• Пересечение с осью Oy ($x=0$): $y = f(0) = \frac{-1}{1} = -1$. Точка $(0, -1)$.
• Пересечение с осью Ox ($y=0$): $0 = \frac{-3x - 1}{x + 1} \Rightarrow -3x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1/3$. Точка $(-1/3, 0)$.

а) $y = f(x)$

График функции $y = f(x) = \frac{2}{x + 1} - 3$ строится на основе вышеизложенного анализа. Это гипербола с асимптотами $x=-1$ и $y=-3$. Так как коэффициент $k=2$ положителен, ветви гиперболы находятся в первой и третьей четвертях относительно нового центра координат $(-1, -3)$.

Ответ: График функции $y = f(x)$ — это гипербола с центром симметрии в точке $(-1, -3)$, вертикальной асимптотой $x=-1$ и горизонтальной асимптотой $y=-3$. График проходит через точки $(0, -1)$ и $(-1/3, 0)$.

б) $y = |f(x)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(x)|$, нужно ту часть графика $y=f(x)$, которая лежит ниже оси Ox, симметрично отразить относительно этой оси, а часть графика, которая лежит выше или на оси Ox, оставить без изменений.

1. Определим знаки функции $f(x) = \frac{-3x - 1}{x + 1}$. Нуль функции: $x=-1/3$. Вертикальная асимптота: $x=-1$.

• $f(x) \ge 0$ при $x \in (-1, -1/3]$.
• $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, \infty)$.

2. Часть графика на интервале $x \in (-1, -1/3]$ остается без изменений.

3. Части графика на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1/3, \infty)$ отражаются симметрично относительно оси Ox.

4. Вертикальная асимптота $x=-1$ сохраняется. Горизонтальная асимптота $y=-3$ при отражении переходит в $y=3$.

Ответ: График функции $y = |f(x)|$ имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=3$. Он совпадает с графиком $y=f(x)$ на интервале $(-1, -1/3]$ и является зеркальным отражением графика $y=f(x)$ относительно оси Ox на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(-1/3, \infty)$. В точке $(-1/3, 0)$ график имеет излом.

в) $y = f(|x|)$

Чтобы построить график функции $y = f(|x|)$, являющейся четной, нужно:

1. Построить график функции $y=f(x)$ для $x \ge 0$.

2. Удалить часть графика для $x < 0$.

3. Отразить построенную в п.1 часть графика симметрично относительно оси Oy.

Для $x \ge 0$, график $y=f(x)$ представляет собой ветвь гиперболы, которая начинается в точке $(0, -1)$ и асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=-3$ при $x \to \infty$. Вертикальная асимптота $x=-1$ не попадает в область $x \ge 0$.

Отразив эту часть графика относительно оси Oy, мы получим симметричный график. Новая функция задается формулой $y = \frac{-3|x|-1}{|x|+1}$. Поскольку знаменатель $|x|+1$ никогда не равен нулю, у этого графика нет вертикальных асимптот.

Ответ: График функции $y=f(|x|)$ симметричен относительно оси Oy. Он имеет "вершину" в точке $(0, -1)$ и с обеих сторон (при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$) асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=-3$. Вертикальных асимптот у графика нет.

г) $y = |f(|x|)|$

Чтобы построить график функции $y = |f(|x|)|$, можно взять график функции $y = f(|x|)$, построенный в предыдущем пункте, и применить к нему преобразование модуля: отразить часть графика, лежащую ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси.

Весь график функции $y=f(|x|)$ из пункта (в) лежит ниже оси Ox, так как его максимальное значение равно -1.

Следовательно, для получения графика $y = |f(|x|)|$ необходимо весь график $y=f(|x|)$ отразить симметрично относительно оси Ox.

Ответ: График функции $y=|f(|x|)|$ симметричен относительно оси Oy. Он получается отражением графика из пункта (в) относительно оси Ox. График имеет точку минимума в $(0, 1)$ и с обеих сторон асимптотически приближается к горизонтальной асимптоте $y=3$.