Страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.113 Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции и постройте её график:

а) $y = \frac{1}{4} x^2 (x - 4)^2;$

б) $y = 4x^2 (x - 2)^2.$

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Раскроем скобки для удобства дифференцирования:

$y = \frac{1}{4}x^2(x^2 - 8x + 16) = \frac{1}{4}(x^4 - 8x^3 + 16x^2)$.

Найдем первую производную функции $y'$:

$y' = \left(\frac{1}{4}(x^4 - 8x^3 + 16x^2)\right)' = \frac{1}{4}(4x^3 - 24x^2 + 32x) = x^3 - 6x^2 + 8x$.

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные (критические) точки:

$x^3 - 6x^2 + 8x = 0$

$x(x^2 - 6x + 8) = 0$

Решаем уравнение. Один корень $x_1 = 0$. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_2 = 2$ и $x_3 = 4$.

Таким образом, критические точки: $x=0, x=2, x=4$.

4. Определение промежутков возрастания и убывания.

Исследуем знак производной $y' = x(x-2)(x-4)$ на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$, $(2; 4)$, $(4; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = (-1)(-1-2)(-1-4) = -15 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 2)$, например $x=1$, $y'(1) = 1(1-2)(1-4) = 3 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (2; 4)$, например $x=3$, $y'(3) = 3(3-2)(3-4) = -3 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (4; +\infty)$, например $x=5$, $y'(5) = 5(5-2)(5-4) = 15 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $[0; 2]$ и $[4; +\infty)$, и убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[2; 4]$.

5. Нахождение точек экстремума.

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = \frac{1}{4}(0)^2(0-4)^2 = 0$. Точка минимума: $(0, 0)$.
• В точке $x=2$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(2) = \frac{1}{4}(2)^2(2-4)^2 = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot (-2)^2 = 4$. Точка максимума: $(2, 4)$.
• В точке $x=4$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(4) = \frac{1}{4}(4)^2(4-4)^2 = 0$. Точка минимума: $(4, 0)$.

6. Построение графика.

Для построения графика используем найденные точки и информацию о поведении функции:

• Точки пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow x=0, x=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Точки экстремума: минимум $(0, 0)$, максимум $(2, 4)$, минимум $(4, 0)$.

График функции имеет форму буквы "W". Он симметричен относительно прямой $x=2$. Начинаясь в левой верхней четверти, он убывает до точки $(0, 0)$, затем возрастает до точки $(2, 4)$, снова убывает до точки $(4, 0)$, и после этого возрастает, уходя в правую верхнюю четверть. В точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$ график касается оси Ox.

Ответ:
Промежутки возрастания: $[0; 2]$ и $[4; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[2; 4]$.
Точка максимума: $(2; 4)$.
Точки минимума: $(0; 0)$ и $(4; 0)$.

1. Область определения функции.

Функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Нахождение производной.

Раскроем скобки:

$y = 4x^2(x^2 - 4x + 4) = 4x^4 - 16x^3 + 16x^2$.

Найдем первую производную функции $y'$:

$y' = (4x^4 - 16x^3 + 16x^2)' = 16x^3 - 48x^2 + 32x$.

3. Нахождение критических точек.

Приравняем производную к нулю:

$16x^3 - 48x^2 + 32x = 0$

$16x(x^2 - 3x + 2) = 0$

Решаем уравнение. Один корень $x_1 = 0$. Решаем квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, корни $x_2 = 1$ и $x_3 = 2$.

Таким образом, критические точки: $x=0, x=1, x=2$.

4. Определение промежутков возрастания и убывания.

Исследуем знак производной $y' = 16x(x-1)(x-2)$ на интервалах: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; +\infty)$.

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $y'(-1) = 16(-1)(-2)(-3) = -96 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$, $y'(0.5) = 16(0.5)(0.5-1)(0.5-2) = 16(0.5)(-0.5)(-1.5) = 6 > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1; 2)$, например $x=1.5$, $y'(1.5) = 16(1.5)(1.5-1)(1.5-2) = 16(1.5)(0.5)(-0.5) = -6 < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (2; +\infty)$, например $x=3$, $y'(3) = 16(3)(3-1)(3-2) = 96 > 0$. Функция возрастает.

Следовательно, функция возрастает на промежутках $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$, и убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$.

5. Нахождение точек экстремума.

• В точке $x=0$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = 4(0)^2(0-2)^2 = 0$. Точка минимума: $(0, 0)$.
• В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(1) = 4(1)^2(1-2)^2 = 4 \cdot 1 \cdot (-1)^2 = 4$. Точка максимума: $(1, 4)$.
• В точке $x=2$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 4(2)^2(2-2)^2 = 0$. Точка минимума: $(2, 0)$.

6. Построение графика.

Для построения графика используем найденные точки и информацию о поведении функции:

• Точки пересечения с осью Ox: $y=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.
• Точка пересечения с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y=0$. Точка $(0, 0)$.
• Точки экстремума: минимум $(0, 0)$, максимум $(1, 4)$, минимум $(2, 0)$.

График функции также имеет форму буквы "W" и симметричен относительно прямой $x=1$. Он убывает до точки $(0, 0)$, затем возрастает до локального максимума в точке $(1, 4)$, после чего убывает до точки $(2, 0)$, и далее возрастает до бесконечности. В точках $(0, 0)$ и $(2, 0)$ график касается оси Ox.

Ответ:
Промежутки возрастания: $[0; 1]$ и $[2; +\infty)$.
Промежутки убывания: $(-\infty; 0]$ и $[1; 2]$.
Точка максимума: $(1; 4)$.
Точки минимума: $(0; 0)$ и $(2; 0)$.

5.114 Исследуйте на монотонность и экстремумы функцию и постройте её график:

а) $y = x^3 - 3x^2 - 1;$

б) $y = x^4 - 2x^2 + 3;$

в) $y = -x^3 + 3x + 1;$

г) $y = x^3 - 3x^2 + 1;$

д) $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + 1;$

е) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2.$

а) $y = x^3 - 3x^2 - 1$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Находим производную функции: $y' = (x^3 - 3x^2 - 1)' = 3x^2 - 6x$.

3. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$.
Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Исследуем знак производной и определяем интервалы монотонности:
- На интервале $(-\infty, 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0, 2)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(2, +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

5. Находим точки экстремума и их значения:
- В точке $x = 0$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 0^3 - 3(0)^2 - 1 = -1$.
- В точке $x = 2$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 - 1 = 8 - 12 - 1 = -5$.

6. График функции — кубическая парабола. Он возрастает до точки максимума $(0, -1)$, затем убывает до точки минимума $(2, -5)$, после чего снова возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на промежутке $[0, 2]$. Точка максимума $(0, -1)$, точка минимума $(2, -5)$.

б) $y = x^4 - 2x^2 + 3$

1. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Функция является четной, так как $y(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = y(x)$, её график симметричен относительно оси OY.

2. Находим производную: $y' = (x^4 - 2x^2 + 3)' = 4x^3 - 4x$.

3. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$4x^3 - 4x = 0 \implies 4x(x^2 - 1) = 0 \implies 4x(x-1)(x+1)=0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 0)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(0, 1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = -1$ — точка минимума. $y_{min} = y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.
- $x = 0$ — точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$.
- $x = 1$ — точка минимума. $y_{min} = y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$.

6. График имеет W-образную форму, симметричную относительно оси OY. Он убывает до точки минимума $(-1, 2)$, возрастает до точки максимума $(0, 3)$, убывает до второй точки минимума $(1, 2)$, а затем возрастает.

Ответ: Функция возрастает на $[-1, 0]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$. Точки минимума $(-1, 2)$ и $(1, 2)$, точка максимума $(0, 3)$.

в) $y = -x^3 + 3x + 1$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (-x^3 + 3x + 1)' = -3x^2 + 3$.

3. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$-3x^2 + 3 = 0 \implies 3(1 - x^2) = 0 \implies x^2 = 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(-1, 1)$ производная $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' < 0$, функция убывает.

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = -1$ — точка минимума. $y_{min} = y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$.
- $x = 1$ — точка максимума. $y_{max} = y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$.

6. График — кубическая парабола. Он убывает до точки минимума $(-1, -1)$, затем возрастает до точки максимума $(1, 3)$ и снова убывает. Пересечение с осью OY в точке $(0, 1)$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$. Точка минимума $(-1, -1)$, точка максимума $(1, 3)$.

г) $y = x^3 - 3x^2 + 1$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x$.

3. Находим критические точки ($y'=0$): $3x(x - 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

4. Интервалы монотонности (аналогичны пункту а)):
- На $(-\infty, 0)$ функция возрастает ($y' > 0$).
- На $(0, 2)$ функция убывает ($y' < 0$).
- На $(2, +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$).

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = 0$ — точка максимума. $y_{max} = y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1$.
- $x = 2$ — точка минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 12 + 1 = -3$.

6. График функции идентичен графику из пункта а), но сдвинут на 2 единицы вверх по оси OY. Он возрастает до точки $(0, 1)$, убывает до точки $(2, -3)$, затем возрастает.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$, убывает на $[0, 2]$. Точка максимума $(0, 1)$, точка минимума $(2, -3)$.

д) $y = \frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + 1$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 5x + 1)' = x^2 - 6x + 5$.

3. Находим критические точки ($y'=0$): $x^2 - 6x + 5 = 0 \implies (x - 1)(x - 5) = 0$. Критические точки: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На $(-\infty, 1)$ функция возрастает ($y' > 0$).
- На $(1, 5)$ функция убывает ($y' < 0$).
- На $(5, +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$).

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = 1$ — точка максимума. $y_{max} = y(1) = \frac{1}{3} - 3 + 5 + 1 = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$.
- $x = 5$ — точка минимума. $y_{min} = y(5) = \frac{125}{3} - 3(25) + 5(5) + 1 = \frac{125}{3} - 75 + 25 + 1 = \frac{125}{3} - 49 = -\frac{22}{3}$.

6. График — кубическая парабола, возрастающая до точки максимума $(1, \frac{10}{3})$, затем убывающая до точки минимума $(5, -\frac{22}{3})$, и снова возрастающая. Пересечение с осью OY в точке $(0, 1)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$, убывает на $[1, 5]$. Точка максимума $(1, \frac{10}{3})$, точка минимума $(5, -\frac{22}{3})$.

е) $y = \frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2$

1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Находим производную: $y' = (\frac{1}{3}x^3 + 3x^2 - 7x - 2)' = x^2 + 6x - 7$.

3. Находим критические точки ($y'=0$): $x^2 + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -7$, $x_2 = 1$.

4. Исследуем интервалы монотонности:
- На $(-\infty, -7)$ функция возрастает ($y' > 0$).
- На $(-7, 1)$ функция убывает ($y' < 0$).
- На $(1, +\infty)$ функция возрастает ($y' > 0$).

5. Находим точки экстремума и их значения:
- $x = -7$ — точка максимума. $y_{max} = y(-7) = \frac{1}{3}(-7)^3 + 3(-7)^2 - 7(-7) - 2 = -\frac{343}{3} + 147 + 49 - 2 = -\frac{343}{3} + 194 = \frac{239}{3}$.
- $x = 1$ — точка минимума. $y_{min} = y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 7(1) - 2 = \frac{1}{3} + 3 - 7 - 2 = \frac{1}{3} - 6 = -\frac{17}{3}$.

6. График — кубическая парабола, возрастающая до точки максимума $(-7, \frac{239}{3})$, затем убывающая до точки минимума $(1, -\frac{17}{3})$, и снова возрастающая. Пересечение с осью OY в точке $(0, -2)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -7]$ и $[1, +\infty)$, убывает на $[-7, 1]$. Точка максимума $(-7, \frac{239}{3})$, точка минимума $(1, -\frac{17}{3})$.

5.115 Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума функции, постройте её график. Найдите наибольшее и наименьшее значения этой функции на указанном отрезке:

а) $y = -2x^4 + 4x^2 + 3$, $[-2; 0,5]$

б) $y = x^3 - 3x + 3$, $[-0,5; 3]$

в) $y = (x - 1)^2 (2x + 4)$, $[-2,5; 1,5]$

г) $y = (2x - 4)(x + 1)^2$, $[-1,5; 2,5]$

д) $y = \frac{1}{8}(x + 3)(x - 3)^2$, $[-2; 1]$

е) $y = \frac{1}{4}(x - 3)(x + 3)^2$, $[-4; -1]$

а) $y = -2x^4 + 4x^2 + 3$ на отрезке $[-2; 0,5]$

1. Исследуем функцию. Сначала найдём её производную:
$y' = (-2x^4 + 4x^2 + 3)' = -8x^3 + 8x$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю:
$-8x^3 + 8x = 0$
$-8x(x^2 - 1) = 0$
$-8x(x - 1)(x + 1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
- На интервале $(-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(-1; 0)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На интервале $(0; 1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На интервале $(1; \infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

Таким образом:
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$.
Промежутки убывания: $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$.
$x = -1$ и $x = 1$ — точки максимума.
$x = 0$ — точка минимума.

4. Найдём значения функции в точках экстремума:
$y_{max} = y(-1) = -2(-1)^4 + 4(-1)^2 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$.
$y_{min} = y(0) = -2(0)^4 + 4(0)^2 + 3 = 3$.
$y_{max} = y(1) = -2(1)^4 + 4(1)^2 + 3 = -2 + 4 + 3 = 5$.

5. Для построения графика можно использовать точки экстремумов $(-1, 5)$, $(0, 3)$, $(1, 5)$. Функция является чётной, её график симметричен относительно оси Oy.

6. Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[-2; 0,5]$.
Критические точки, попадающие в отрезок: $x = -1$ и $x = 0$.
Вычислим значения функции в этих точках и на концах отрезка:
$y(-2) = -2(-2)^4 + 4(-2)^2 + 3 = -32 + 16 + 3 = -13$.
$y(-1) = 5$.
$y(0) = 3$.
$y(0,5) = -2(0,5)^4 + 4(0,5)^2 + 3 = -2(0,0625) + 4(0,25) + 3 = -0,125 + 1 + 3 = 3,875$.
Сравнивая значения $\{-13, 5, 3, 3,875\}$, находим:
Наибольшее значение на отрезке: $y_{наиб} = 5$.
Наименьшее значение на отрезке: $y_{наим} = -13$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[0, 1]$. Промежутки убывания: $[-1, 0]$ и $[1, \infty)$. Точки максимума: $x = -1, x=1$. Точка минимума: $x = 0$. На отрезке $[-2; 0,5]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 5$ (при $x=-1$), наименьшее значение $y_{наим} = -13$ (при $x=-2$).

б) $y = x^3 - 3x + 3$ на отрезке $[-0,5; 3]$

1. Найдём производную функции:
$y' = (x^3 - 3x + 3)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдём критические точки:
$3x^2 - 3 = 0$
$3(x^2 - 1) = 0$
$x^2 = 1$
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Определим знаки производной: $y' = 3(x-1)(x+1)$.
- На $(-\infty; -1)$, $y' > 0$, функция возрастает.
- На $(-1; 1)$, $y' < 0$, функция убывает.
- На $(1; \infty)$, $y' > 0$, функция возрастает.

Таким образом:
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 1]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 3 = -1 + 3 + 3 = 5$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = 1^3 - 3(1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1$.

4. Ключевые точки для графика: точка максимума $(-1, 5)$, точка минимума $(1, 1)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-0,5; 3]$.
Критическая точка $x=1$ принадлежит отрезку, а $x=-1$ — нет.
Вычислим значения функции в точке $x=1$ и на концах отрезка:
$y(-0,5) = (-0,5)^3 - 3(-0,5) + 3 = -0,125 + 1,5 + 3 = 4,375$.
$y(1) = 1$.
$y(3) = 3^3 - 3(3) + 3 = 27 - 9 + 3 = 21$.
Сравнивая значения $\{4,375, 1, 21\}$, находим:
Наибольшее значение на отрезке: $y_{наиб} = 21$.
Наименьшее значение на отрезке: $y_{наим} = 1$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 1]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-0,5; 3]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 21$ (при $x=3$), наименьшее значение $y_{наим} = 1$ (при $x=1$).

в) $y = (x - 1)^2 (2x + 4)$ на отрезке $[-2,5; 1,5]$

1. Упростим функцию: $y = (x^2 - 2x + 1)(2x + 4) = 2(x^2 - 2x + 1)(x + 2) = 2(x^3 + 2x^2 - 2x^2 - 4x + x + 2) = 2(x^3 - 3x + 2) = 2x^3 - 6x + 4$.
Найдём производную:
$y' = (2x^3 - 6x + 4)' = 6x^2 - 6$.

2. Найдём критические точки:
$6x^2 - 6 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

3. Анализ знаков производной (аналогично пункту б):
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 1]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) + 4 = -2 + 6 + 4 = 8$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = 2(1)^3 - 6(1) + 4 = 2 - 6 + 4 = 0$.

4. Для графика используем точки экстремумов $(-1, 8)$ и $(1, 0)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-2,5; 1,5]$.
Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку.
$y(-2,5) = 2(-2,5)^3 - 6(-2,5) + 4 = 2(-15,625) + 15 + 4 = -31,25 + 19 = -12,25$.
$y(-1) = 8$.
$y(1) = 0$.
$y(1,5) = 2(1,5)^3 - 6(1,5) + 4 = 2(3,375) - 9 + 4 = 6,75 - 5 = 1,75$.
Сравнивая значения $\{-12,25, 8, 0, 1,75\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 8$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -12,25$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 1]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-2,5; 1,5]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 8$ (при $x=-1$), наименьшее значение $y_{наим} = -12,25$ (при $x=-2,5$).

г) $y = (2x - 4)(x + 1)^2$ на отрезке $[-1,5; 2,5]$

1. Упростим функцию: $y = 2(x - 2)(x^2 + 2x + 1) = 2(x^3 + 2x^2 + x - 2x^2 - 4x - 2) = 2(x^3 - 3x - 2) = 2x^3 - 6x - 4$.
Найдём производную:
$y' = (2x^3 - 6x - 4)' = 6x^2 - 6$.

2. Критические точки (как и в предыдущих пунктах): $x = -1, x = 1$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы:
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 1]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = 2(-1)^3 - 6(-1) - 4 = -2 + 6 - 4 = 0$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = 2(1)^3 - 6(1) - 4 = 2 - 6 - 4 = -8$.

4. Ключевые точки для графика: $(-1, 0)$ и $(1, -8)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-1,5; 2,5]$.
Обе критические точки $x = -1$ и $x = 1$ принадлежат отрезку.
$y(-1,5) = 2(-1,5)^3 - 6(-1,5) - 4 = 2(-3,375) + 9 - 4 = -6,75 + 5 = -1,75$.
$y(-1) = 0$.
$y(1) = -8$.
$y(2,5) = 2(2,5)^3 - 6(2,5) - 4 = 2(15,625) - 15 - 4 = 31,25 - 19 = 12,25$.
Сравнивая значения $\{-1,75, 0, -8, 12,25\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 12,25$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -8$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 1]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-1,5; 2,5]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 12,25$ (при $x=2,5$), наименьшее значение $y_{наим} = -8$ (при $x=1$).

д) $y = \frac{1}{8}(x + 3)(x - 3)^2$ на отрезке $[-2; 1]$

1. Упростим и найдём производную: $y = \frac{1}{8}(x+3)(x^2-6x+9) = \frac{1}{8}(x^3 - 3x^2 - 9x + 27)$.
$y' = \frac{1}{8}(3x^2 - 6x - 9) = \frac{3}{8}(x^2 - 2x - 3)$.

2. Найдём критические точки:
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $(x-3)(x+1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$.

3. Определим знаки производной $y' = \frac{3}{8}(x-3)(x+1)$.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-1, 3]$.
$x = -1$ — точка максимума. $y(-1) = \frac{1}{8}(-1+3)(-1-3)^2 = \frac{1}{8}(2)(16) = 4$.
$x = 3$ — точка минимума. $y(3) = \frac{1}{8}(3+3)(3-3)^2 = 0$.

4. Ключевые точки для графика: $(-1, 4)$ и $(3, 0)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-2; 1]$.
Критическая точка $x=-1$ принадлежит отрезку, а $x=3$ — нет.
$y(-2) = \frac{1}{8}(-2+3)(-2-3)^2 = \frac{1}{8}(1)(25) = \frac{25}{8} = 3,125$.
$y(-1) = 4$.
$y(1) = \frac{1}{8}(1+3)(1-3)^2 = \frac{1}{8}(4)(4) = \frac{16}{8} = 2$.
Сравнивая значения $\{3,125, 4, 2\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 4$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = 2$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -1]$ и $[3, \infty)$. Промежутки убывания: $[-1, 3]$. Точка максимума: $x = -1$. Точка минимума: $x = 3$. На отрезке $[-2; 1]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ (при $x=-1$), наименьшее значение $y_{наим} = 2$ (при $x=1$).

е) $y = \frac{1}{4}(x - 3)(x + 3)^2$ на отрезке $[-4; -1]$

1. Упростим и найдём производную: $y = \frac{1}{4}(x-3)(x^2+6x+9) = \frac{1}{4}(x^3 + 3x^2 - 9x - 27)$.
$y' = \frac{1}{4}(3x^2 + 6x - 9) = \frac{3}{4}(x^2 + 2x - 3)$.

2. Найдём критические точки:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета: $(x+3)(x-1) = 0$.
Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.

3. Определим знаки производной $y' = \frac{3}{4}(x+3)(x-1)$.
Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$.
Промежутки убывания: $[-3, 1]$.
$x = -3$ — точка максимума. $y(-3) = \frac{1}{4}(-3-3)(-3+3)^2 = 0$.
$x = 1$ — точка минимума. $y(1) = \frac{1}{4}(1-3)(1+3)^2 = \frac{1}{4}(-2)(16) = -8$.

4. Ключевые точки для графика: $(-3, 0)$ и $(1, -8)$.

5. Найдём наибольшее и наименьшее значения на отрезке $[-4; -1]$.
Критическая точка $x=-3$ принадлежит отрезку, а $x=1$ — нет.
$y(-4) = \frac{1}{4}(-4-3)(-4+3)^2 = \frac{1}{4}(-7)(1) = -\frac{7}{4} = -1,75$.
$y(-3) = 0$.
$y(-1) = \frac{1}{4}(-1-3)(-1+3)^2 = \frac{1}{4}(-4)(4) = -4$.
Сравнивая значения $\{-1,75, 0, -4\}$, находим:
Наибольшее значение: $y_{наиб} = 0$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = -4$.

Ответ: Промежутки возрастания: $(-\infty, -3]$ и $[1, \infty)$. Промежутки убывания: $[-3, 1]$. Точка максимума: $x = -3$. Точка минимума: $x = 1$. На отрезке $[-4; -1]$ наибольшее значение $y_{наиб} = 0$ (при $x=-3$), наименьшее значение $y_{наим} = -4$ (при $x=-1$).

5.116* а) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, точки перегиба, промежутки выпуклости вверх или вниз графика функции $y = \frac{x}{9}(4+x)^3$. Постройте график этой функции.

б) Найдите промежутки монотонности, экстремумы, асимптоты графика функции $y = \frac{1}{x^2} - 2x$ и постройте её график.

а)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x}{9}(4 + x)^3$.

1. Область определения функции.
Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Промежутки монотонности и экстремумы.
Для нахождения промежутков монотонности и экстремумов найдем первую производную функции, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$y' = \left(\frac{x}{9}(4+x)^3\right)' = \frac{1}{9} \left[ 1 \cdot (4+x)^3 + x \cdot 3(4+x)^2 \cdot 1 \right]$
Вынесем общий множитель $(4+x)^2$:
$y' = \frac{1}{9} (4+x)^2 \left[ (4+x) + 3x \right] = \frac{1}{9} (4+x)^2 (4+4x) = \frac{4}{9} (x+4)^2 (x+1)$
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$\frac{4}{9} (x+4)^2 (x+1) = 0$
Критические точки: $x_1 = -4$, $x_2 = -1$.
Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки разбивают числовую ось: $(-\infty, -4)$, $(-4, -1)$, $(-1, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -4)$, $y'(-5) = \frac{4}{9}(-1)^2(-4) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-4, -1)$, $y'(-2) = \frac{4}{9}(2)^2(-1) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, +\infty)$, $y'(0) = \frac{4}{9}(4)^2(1) > 0$, функция возрастает.

Поскольку в точке $x = -4$ производная не меняет знак, эта точка не является точкой экстремума.
В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = y(-1) = \frac{-1}{9}(4-1)^3 = \frac{-1}{9}(3)^3 = \frac{-27}{9} = -3$.
Точка минимума: $(-1, -3)$.

3. Промежутки выпуклости и точки перегиба.
Для нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба найдем вторую производную:
$y'' = \left(\frac{4}{9} (x+4)^2 (x+1)\right)' = \frac{4}{9} \left[ 2(x+4)(x+1) + (x+4)^2 \cdot 1 \right]$
Вынесем общий множитель $(x+4)$:
$y'' = \frac{4}{9} (x+4) [2(x+1) + (x+4)] = \frac{4}{9} (x+4) [2x+2+x+4] = \frac{4}{9} (x+4)(3x+6) = \frac{4}{3} (x+4)(x+2)$
Приравняем вторую производную к нулю:
$\frac{4}{3} (x+4)(x+2) = 0$
Точки возможного перегиба: $x_1 = -4$, $x_2 = -2$.
Определим знаки второй производной на интервалах $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -4)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
• При $x \in (-4, -2)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
• При $x \in (-2, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

Поскольку в точках $x=-4$ и $x=-2$ вторая производная меняет знак, обе они являются абсциссами точек перегиба.
Найдем ординаты этих точек:
$y(-4) = \frac{-4}{9}(4-4)^3 = 0$. Точка перегиба $(-4, 0)$.
$y(-2) = \frac{-2}{9}(4-2)^3 = \frac{-2}{9}(8) = -\frac{16}{9}$. Точка перегиба $(-2, -16/9)$.

4. Построение графика.
Используем полученные данные для построения графика:

• Пересечение с осями координат: $(0,0)$ и $(-4,0)$.
• Точка минимума: $(-1, -3)$.
• Точки перегиба: $(-4, 0)$ и $(-2, -16/9)$.

Ответ:
Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и возрастает на $[-1, +\infty)$.
Экстремумы: точка минимума $(-1, -3)$.
Точки перегиба: $(-4, 0)$ и $(-2, -16/9)$.
Промежутки выпуклости: график выпуклый вниз на $(-\infty, -4) \cup (-2, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(-4, -2)$.

б)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{1}{x^2} - 2x$.

1. Область определения функции.
Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$.
Область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Асимптоты графика.
Вертикальная асимптота:
Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва $x=0$.
$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x^2} - 2x\right) = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} - \lim_{x \to 0} 2x = +\infty - 0 = +\infty$.
Следовательно, прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.
Наклонная асимптота:
Ищем асимптоту вида $y=kx+b$ при $x \to \pm\infty$.
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{1}{x^2} - 2x}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^3} - 2\right) = 0 - 2 = -2$.
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} \left[\left(\frac{1}{x^2} - 2x\right) - (-2x)\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2} = 0$.
Следовательно, прямая $y=-2x$ является наклонной асимптотой.

3. Промежутки монотонности и экстремумы.
Найдем первую производную:
$y' = \left(\frac{1}{x^2} - 2x\right)' = (x^{-2} - 2x)' = -2x^{-3} - 2 = -\frac{2}{x^3} - 2 = -2\left(\frac{1}{x^3} + 1\right) = -2\frac{1+x^3}{x^3}$.
Приравняем производную к нулю:
$-2\frac{1+x^3}{x^3} = 0 \Rightarrow 1+x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = -1 \Rightarrow x=-1$.
Критическая точка $x = -1$. Точка $x=0$ (где производная не существует) не входит в область определения.
Определим знаки производной на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.

• При $x \in (-\infty, -1)$: $y'(-2) = -2\frac{1-8}{-8} < 0$, функция убывает.
• При $x \in (-1, 0)$: $y'(-0.5) = -2\frac{1-0.125}{-0.125} > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (0, +\infty)$: $y'(1) = -2\frac{1+1}{1} < 0$, функция убывает.

В точке $x = -1$ производная меняет знак с «-» на «+», следовательно, это точка локального минимума.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = y(-1) = \frac{1}{(-1)^2} - 2(-1) = 1 + 2 = 3$.
Точка минимума: $(-1, 3)$.

4. Построение графика.
Используем полученные данные для построения графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Наклонная асимптота: $y=-2x$.
• Точка минимума: $(-1, 3)$.
• Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{1}{x^2}-2x=0 \Rightarrow 1=2x^3 \Rightarrow x=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Точка $(\frac{1}{\sqrt[3]{2}}, 0)$.

Ответ:
Промежутки монотонности: функция убывает на $(-\infty, -1]$ и на $(0, +\infty)$, возрастает на $[-1, 0)$.
Экстремумы: точка минимума $(-1, 3)$.
Асимптоты: вертикальная $x=0$ и наклонная $y=-2x$.

5.117* Исследуйте функцию и постройте её график:

a) $y = -x^2 (0.5x^2 - 4);$

б) $y = (x^2 - 1)^2;$

в) $y = -x + \frac{4}{3 - x} - 2;$

г) $y = x + \frac{1}{x - 1} - 3;$

д) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 1};$

е) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4};$

ж) $y = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 1};$

3) $y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}.$

а)

Исследуем функцию $y = -x^2(0,5x^2 - 4) = -0,5x^4 + 4x^2$.

1. Область определения: Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: $y(-x) = -0,5(-x)^4 + 4(-x)^2 = -0,5x^4 + 4x^2 = y(x