Страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

5.123 Напишите формулу Тейлора для функции:

а) $y = \sin x$ для $n = 7$;

б) $y = \cos x$ для $n = 7$;

в) $y = \operatorname{tg} x$ для $n = 5$;

г) $y = e^x$ для $n = 8$;

д) $y = \ln (1 + x)$ для $n = 5$;

е) $y = \frac{1}{1 + x}$ для $n = 5$.

Формула Тейлора для функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0 = 0$ (формула Маклорена) до члена $n$-го порядка с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:$f(x) = f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$, где $o(x^n)$ — функция, такая что $\lim_{x\to0} \frac{o(x^n)}{x^n} = 0$.Найдем разложения для каждой из заданных функций.

а) $y = \sin x$ для $n = 7$
Найдем производные функции $f(x) = \sin x$ до 7-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \sin x \implies f(0) = 0$
$f'(x) = \cos x \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = -\sin x \implies f''(0) = 0$
$f'''(x) = -\cos x \implies f'''(0) = -1$
$f^{(4)}(x) = \sin x \implies f^{(4)}(0) = 0$
$f^{(5)}(x) = \cos x \implies f^{(5)}(0) = 1$
$f^{(6)}(x) = -\sin x \implies f^{(6)}(0) = 0$
$f^{(7)}(x) = -\cos x \implies f^{(7)}(0) = -1$
Подставляем найденные значения в общую формулу Маклорена:
$\sin x = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-1}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{1}{5!}x^5 + \frac{0}{6!}x^6 + \frac{-1}{7!}x^7 + o(x^7)$
После упрощения получаем:
$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + o(x^7)$
Ответ: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + o(x^7)$.

б) $y = \cos x$ для $n = 7$
Найдем производные функции $f(x) = \cos x$ до 7-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \cos x \implies f(0) = 1$
$f'(x) = -\sin x \implies f'(0) = 0$
$f''(x) = -\cos x \implies f''(0) = -1$
$f'''(x) = \sin x \implies f'''(0) = 0$
$f^{(4)}(x) = \cos x \implies f^{(4)}(0) = 1$
$f^{(5)}(x) = -\sin x \implies f^{(5)}(0) = 0$
$f^{(6)}(x) = -\cos x \implies f^{(6)}(0) = -1$
$f^{(7)}(x) = \sin x \implies f^{(7)}(0) = 0$
Подставляем значения в формулу:
$\cos x = 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 + \frac{0}{5!}x^5 + \frac{-1}{6!}x^6 + \frac{0}{7!}x^7 + o(x^7)$
После упрощения получаем (коэффициент при $x^7$ равен нулю):
$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + o(x^7)$
Ответ: $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + o(x^7)$.

в) $y = \operatorname{tg} x$ для $n = 5$
Найдем производные функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ до 5-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \operatorname{tg} x \implies f(0) = 0$
$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = 2\sec^2 x \operatorname{tg} x \implies f''(0) = 0$
$f'''(x) = 4\sec^2 x \operatorname{tg}^2 x + 2\sec^4 x \implies f'''(0) = 2$
$f^{(4)}(x) = 8\sec^2 x \operatorname{tg}^3 x + 16\sec^4 x \operatorname{tg} x \implies f^{(4)}(0) = 0$
$f^{(5)}(x) = 16\sec^2 x \operatorname{tg}^4 x + 88\sec^4 x \operatorname{tg}^2 x + 16\sec^6 x \implies f^{(5)}(0) = 16$
Подставляем значения в формулу:
$\operatorname{tg} x = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{0}{4!}x^4 + \frac{16}{5!}x^5 + o(x^5)$
После упрощения получаем:
$\operatorname{tg} x = x + \frac{2}{6}x^3 + \frac{16}{120}x^5 + o(x^5) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$
Ответ: $\operatorname{tg} x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)$.

г) $y = e^x$ для $n = 8$
Для функции $f(x) = e^x$ любая ее производная равна самой функции: $f^{(k)}(x) = e^x$ для любого $k \ge 0$.
Следовательно, значение любой производной в точке $x=0$ равно $f^{(k)}(0) = e^0 = 1$.
Подставляя эти значения в формулу Маклорена для $n=8$, получаем:
$e^x = \sum_{k=0}^{8} \frac{1}{k!}x^k + o(x^8) = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^6}{6!} + \frac{x^7}{7!} + \frac{x^8}{8!} + o(x^8)$
Ответ: $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \frac{x^6}{720} + \frac{x^7}{5040} + \frac{x^8}{40320} + o(x^8)$.

д) $y = \ln(1 + x)$ для $n = 5$
Найдем производные функции $f(x) = \ln(1+x)$ до 5-го порядка и их значения в точке $x=0$:
$f(x) = \ln(1+x) \implies f(0) = \ln(1) = 0$
$f'(x) = (1+x)^{-1} \implies f'(0) = 1$
$f''(x) = -1(1+x)^{-2} \implies f''(0) = -1$
$f'''(x) = 2(1+x)^{-3} \implies f'''(0) = 2$
$f^{(4)}(x) = -6(1+x)^{-4} \implies f^{(4)}(0) = -6$
$f^{(5)}(x) = 24(1+x)^{-5} \implies f^{(5)}(0) = 24$
Подставляем значения в формулу:
$\ln(1+x) = 0 + \frac{1}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 + \frac{-6}{4!}x^4 + \frac{24}{5!}x^5 + o(x^5)$
После упрощения получаем:
$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{2}{6}x^3 - \frac{6}{24}x^4 + \frac{24}{120}x^5 + o(x^5) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$
Ответ: $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)$.

е) $y = \frac{1}{1 + x}$ для $n = 5$
Для разложения этой функции можно использовать известную формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $\frac{1}{1-q} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots$, при $|q|<1$.
Положим $q = -x$. Тогда при $|x|<1$ получаем:
$\frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)} = 1 + (-x) + (-x)^2 + (-x)^3 + (-x)^4 + (-x)^5 + \dots$
Записывая формулу Маклорена до $n=5$, мы берем первые 6 членов ряда (от 0-го до 5-го) и добавляем остаточный член:
$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)$
Ответ: $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + o(x^5)$.

5.124* Вычислите с точностью до $10^{-4}$ с помощью формулы Тейлора:

а) $\sin 0,2$;

б) $\cos 0,1$;

в) $\operatorname{tg} 0,1$;

г) $e$;

д) $e^{\frac{1}{2}} ;$

е) $\ln 2$.

а) Для вычисления $ \sin 0.2 $ используем разложение функции $ f(x) = \sin x $ в ряд Маклорена (частный случай формулы Тейлора при $ a=0 $):$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + R_n(x) $.

Погрешность вычисления определяется остаточным членом $ R_n(x) $. В форме Лагранжа для ряда синуса он имеет вид $ R_{2n+2}(x) = \frac{f^{(2n+3)}(c)}{(2n+3)!} x^{2n+3} $, где $ c $ лежит между $ 0 $ и $ x $. Так как любая производная синуса по модулю не превосходит 1, $ |f^{(k)}(c)| \le 1 $, то для $ x=0.2 $ погрешность можно оценить как $ |R_{2n+2}(0.2)| \le \frac{(0.2)^{2n+3}}{(2n+3)!} $.Нам нужно, чтобы погрешность была меньше $ 10^{-4} $.

Проверим необходимое число членов ряда:
При $ n=0 $, погрешность $ |R_2(0.2)| \le \frac{(0.2)^3}{3!} = \frac{0.008}{6} \approx 0.00133 $, что больше $ 10^{-4} $.
При $ n=1 $, погрешность $ |R_4(0.2)| \le \frac{(0.2)^5}{5!} = \frac{0.00032}{120} \approx 0.0000027 $, что меньше $ 10^{-4} $.
Следовательно, для достижения требуемой точности достаточно взять первые два члена разложения ($ k=0, 1 $):$ \sin 0.2 \approx 0.2 - \frac{(0.2)^3}{3!} = 0.2 - \frac{0.008}{6} = 0.2 - 0.001333... \approx 0.198667 $.Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 0.1987 $.
Ответ: $ 0.1987 $

б) Для вычисления $ \cos 0.1 $ используем разложение функции $ f(x) = \cos x $ в ряд Маклорена:$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + R_n(x) $.

Остаточный член в форме Лагранжа $ R_{2n+1}(x) = \frac{f^{(2n+2)}(c)}{(2n+2)!} x^{2n+2} $, где $ c $ лежит между $ 0 $ и $ x $. Так как $ |f^{(k)}(c)| \le 1 $, для $ x=0.1 $ погрешность оценивается как $ |R_{2n+1}(0.1)| \le \frac{(0.1)^{2n+2}}{(2n+2)!} $.Требуемая точность $ 10^{-4} $.

Проверим число членов:
При $ n=0 $, погрешность $ |R_1(0.1)| \le \frac{(0.1)^2}{2!} = \frac{0.01}{2} = 0.005 $, что больше $ 10^{-4} $.
При $ n=1 $, погрешность $ |R_3(0.1)| \le \frac{(0.1)^4}{4!} = \frac{0.0001}{24} \approx 0.0000042 $, что меньше $ 10^{-4} $.
Достаточно взять первые два члена разложения:$ \cos 0.1 \approx 1 - \frac{(0.1)^2}{2!} = 1 - \frac{0.01}{2} = 1 - 0.005 = 0.9950 $.
Ответ: $ 0.9950 $

в) Для вычисления $ \tg 0.1 $ используем разложение функции $ f(x) = \tg x $ в ряд Маклорена:$ \tg x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots $.

Ряд для тангенса является знакоположительным при $ x > 0 $, поэтому погрешность можно оценить по величине первого отброшенного члена.
Если взять один член $ \tg 0.1 \approx 0.1 $, то погрешность примерно равна второму члену $ \frac{(0.1)^3}{3} \approx 0.00033 $, что больше $ 10^{-4} $.
Если взять два члена $ \tg 0.1 \approx 0.1 + \frac{(0.1)^3}{3} $, то погрешность оценивается третьим членом: $ \frac{2(0.1)^5}{15} = \frac{0.00002}{15} \approx 0.0000013 $, что меньше $ 10^{-4} $.
Вычисляем приближенное значение:$ \tg 0.1 \approx 0.1 + \frac{(0.1)^3}{3} = 0.1 + \frac{0.001}{3} = 0.1 + 0.000333... \approx 0.100333... $.Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 0.1003 $.
Ответ: $ 0.1003 $

г) Для вычисления числа $ e = e^1 $ используем разложение функции $ f(x) = e^x $ в ряд Маклорена при $ x=1 $:$ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots + \frac{x^n}{n!} + R_n(x) $.

Остаточный член $ R_n(1) = \frac{e^c}{(n+1)!} 1^{n+1} $, где $ c \in (0, 1) $. Так как $ e^c < e^1 < 3 $, то $ |R_n(1)| < \frac{3}{(n+1)!} $.Нам нужно, чтобы $ \frac{3}{(n+1)!} < 10^{-4} $, то есть $ (n+1)! > 30000 $.
$ 7! = 5040 $, $ 8! = 40320 $. Значит, нужно взять $ n+1 = 8 $, то есть $ n=7 $.
Вычисляем сумму до $ n=7 $:$ e \approx 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} + \frac{1}{7!} $
$ e \approx 1 + 1 + 0.5 + 0.166667 + 0.041667 + 0.008333 + 0.001389 + 0.000198 \approx 2.718254 $.Поскольку все члены ряда положительны, приближение является оценкой снизу. Погрешность $ R_7(1) < \frac{3}{8!} \approx 0.000074 $.Значит, $ 2.718254 < e < 2.718254 + 0.000074 = 2.718328 $.Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 2.7183 $.
Ответ: $ 2.7183 $

д) Для вычисления $ e^{1/2} $ используем ряд Маклорена для $ e^x $ при $ x = 0.5 $:$ e^{0.5} = \sum_{k=0}^{n} \frac{(0.5)^k}{k!} + R_n(0.5) $.

Остаточный член $ R_n(0.5) = \frac{e^c}{(n+1)!} (0.5)^{n+1} $, где $ c \in (0, 0.5) $. Так как $ e^c < e^{0.5} = \sqrt{e} < \sqrt{4} = 2 $, то $ |R_n(0.5)| < \frac{2 \cdot (0.5)^{n+1}}{(n+1)!} = \frac{1}{(n+1)! 2^n} $.Нам нужно, чтобы $ \frac{1}{(n+1)! 2^n} < 10^{-4} $, то есть $ (n+1)! 2^n > 10000 $.
При $ n=4: 5! \cdot 2^4 = 120 \cdot 16 = 1920 $.
При $ n=5: 6! \cdot 2^5 = 720 \cdot 32 = 23040 > 10000 $.
Берем $ n=5 $. Вычисляем сумму:$ e^{0.5} \approx 1 + \frac{0.5}{1} + \frac{0.5^2}{2} + \frac{0.5^3}{6} + \frac{0.5^4}{24} + \frac{0.5^5}{120} $
$ e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + 0.125 + \frac{0.125}{6} + \frac{0.0625}{24} + \frac{0.03125}{120} $
$ e^{0.5} \approx 1 + 0.5 + 0.125 + 0.020833 + 0.002604 + 0.000260 \approx 1.648697 $.Погрешность $ R_5(0.5) < \frac{1}{23040} \approx 0.000043 $.Значит, $ 1.648697 < e^{0.5} < 1.648697 + 0.000043 = 1.64874 $.Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 1.6487 $.
Ответ: $ 1.6487 $

е) Для вычисления $ \ln 2 $ стандартный ряд для $ \ln(1+x) $ при $ x=1 $ сходится очень медленно. Используем более быстро сходящийся ряд для функции $ \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) $:$ \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots \right) $.

Чтобы найти $ \ln 2 $, решим уравнение $ \frac{1+x}{1-x} = 2 $, откуда $ 1+x = 2-2x $, $ 3x=1 $, $ x = 1/3 $.Подставляем $ x=1/3 $ в ряд: $ \ln 2 = 2\left(\frac{1}{3} + \frac{(1/3)^3}{3} + \frac{(1/3)^5}{5} + \dots \right) $.Погрешность $ R_n $ можно оценить как $ |R_n| < \frac{2x^{2n+3}}{2n+3} \cdot \frac{1}{1-x^2} $. При $ x=1/3 $: $ |R_n| < \frac{2(1/3)^{2n+3}}{2n+3} \cdot \frac{1}{1-1/9} = \frac{9}{4(2n+3)3^{2n+3}} $.
При $ n=2: |R_2| < \frac{9}{4 \cdot 7 \cdot 3^7} = \frac{1}{28 \cdot 243} \approx 0.000147 > 10^{-4} $.
При $ n=3: |R_3| < \frac{9}{4 \cdot 9 \cdot 3^9} = \frac{1}{4 \cdot 3^9} = \frac{1}{78732} \approx 0.0000127 < 10^{-4} $.
Достаточно взять четыре члена ряда ($ k=0,1,2,3 $):$ \ln 2 \approx 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3^3} + \frac{1}{5 \cdot 3^5} + \frac{1}{7 \cdot 3^7} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{81} + \frac{1}{1215} + \frac{1}{15309} \right) $
$ \ln 2 \approx 2 (0.333333... + 0.012345... + 0.000823... + 0.000065...) \approx 2(0.346566) \approx 0.693132 $.Округляя до четырех знаков после запятой, получаем $ 0.6931 $.
Ответ: $ 0.6931 $