Страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Какую функцию называют первообразной для функции $f(x)$ на интервале $(a; b)$?

6.1°

Первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале $(a; b)$ называют такую функцию $F(x)$, которая определена на этом интервале и для всех $x$ из этого интервала ее производная равна $f(x)$.

Иными словами, для всех $x$ из интервала $(a; b)$ должно выполняться равенство:

$F'(x) = f(x)$

Например, для функции $f(x) = 2x$ на интервале $(-\infty; \infty)$ одной из первообразных является функция $F(x) = x^2$, потому что $(\text{x}^2)' = 2x$.

Важно понимать, что если функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа), также будет первообразной для $f(x)$, так как производная от константы равна нулю: $(F(x) + C)' = F'(x) + C' = f(x) + 0 = f(x)$.

Ответ: Функцию $F(x)$ называют первообразной для функции $f(x)$ на интервале $(a; b)$, если для всех $x$ из этого интервала выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Докажите, что функция $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, если (6.2–6.3):

6.2 а) $f(x) = 0, F(x) = C;$

б) $f(x) = 1, F(x) = x;$

в) $f(x) = C, F(x) = Cx;$

г) $f(x) = x, F(x) = \frac{x^2}{2};$

д) $f(x) = x^2, F(x) = \frac{x^3}{3};$

е) $f(x) = x^n, F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} (n \in N).$

Согласно определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для доказательства необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$ в каждом из пунктов.

а)

Даны функции $f(x) = 0$ и $F(x) = C$, где $C$ — некоторая постоянная.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (C)'$
Производная константы равна нулю, следовательно:
$F'(x) = 0$
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $0 = 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Даны функции $f(x) = 1$ и $F(x) = x$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (x)'$
По таблице производных, производная $x$ равна 1:
$F'(x) = 1$
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $1 = 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в)

Даны функции $f(x) = C$ и $F(x) = Cx$, где $C$ — некоторая постоянная.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (Cx)'$
Используя правило вынесения постоянного множителя за знак производной, получаем:
$F'(x) = C \cdot (x)' = C \cdot 1 = C$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $C=C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г)

Даны функции $f(x) = x$ и $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{x^2}{2}\right)'$
Выносим постоянный множитель $\frac{1}{2}$ и используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $x = x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

д)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)'$
Выносим постоянный множитель $\frac{1}{3}$ и используем формулу производной степенной функции:
$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $x^2 = x^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

е)

Даны функции $f(x) = x^n$ и $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, где $n \in N$ (n — натуральное число).
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'$
Поскольку $n$ — натуральное число, $n+1$ является константой, не равной нулю. Выносим постоянный множитель $\frac{1}{n+1}$ и используем формулу производной степенной функции:
$F'(x) = \frac{1}{n+1} \cdot (x^{n+1})' = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^{(n+1)-1} = \frac{n+1}{n+1}x^n = x^n$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $x^n = x^n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

6.3 a) $f(x) = \sin x, F(x) = -\cos x;$

б) $f(x) = \cos x, F(x) = \sin x;$

в) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}, F(x) = \operatorname{tg} x;$

г) $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}, F(x) = \operatorname{ctg} x;$

д) $f(x) = e^x, F(x) = e^x.$

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную от $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$, то есть, что выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

а) Дано: $f(x) = \sin x$, $F(x) = -\cos x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (-\cos x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\cos x)' = -\sin x$, получаем:

$F'(x) = -(-\sin x) = \sin x$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \sin x = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = -\cos x$ является первообразной для $f(x) = \sin x$.

б) Дано: $f(x) = \cos x$, $F(x) = \sin x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sin x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\sin x)' = \cos x$, получаем:

$F'(x) = \cos x$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \cos x = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = \sin x$ является первообразной для $f(x) = \cos x$.

в) Дано: $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$, $F(x) = \text{tg } x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\text{tg } x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, получаем:

$F'(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = \text{tg } x$ является первообразной для $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$.

г) Дано: $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$, $F(x) = \text{ctg } x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\text{ctg } x)'$.

Используя правило дифференцирования $(\text{ctg } x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$, получаем:

$F'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = -\frac{1}{\sin^2 x} = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = \text{ctg } x$ является первообразной для $f(x) = -\frac{1}{\sin^2 x}$.

д) Дано: $f(x) = e^x$, $F(x) = e^x$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (e^x)'$.

Используя правило дифференцирования $(e^x)' = e^x$, получаем:

$F'(x) = e^x$.

Сравниваем результат с функцией $f(x)$: $F'(x) = e^x = f(x)$.

Ответ: Так как производная от $F(x)$ равна $f(x)$, то $F(x) = e^x$ является первообразной для $f(x) = e^x$.

6.4° Верно ли, что если функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, то и функция $F(x) + C$ есть первообразная для функции $f(x)$?

6.4°

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся определением первообразной. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство:

$F'(x) = f(x)$

В условии задачи сказано, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$. Это означает, что равенство $F'(x) = f(x)$ является истинным.

Теперь нам нужно проверить, будет ли функция $G(x) = F(x) + C$ также являться первообразной для $f(x)$, где $C$ — это некоторая постоянная (константа). Для этого найдем производную функции $G(x)$ по переменной $x$.

Докажите, что функция $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, если (6.5—6.6):

6.5 а) $f(x) = (3x + 7)^{10}$, $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C;$

б) $f(x) = \cos(2x - 1)$, $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C;$

в) $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, $F(x) = -\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C.$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$.

а)

Даны функции $f(x) = (3x + 7)^{10}$ и $F(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{(3x + 7)^{11}}{11} + C = \frac{1}{33}(3x + 7)^{11} + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ и правило дифференцирования суммы. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(\frac{1}{33}(3x + 7)^{11} + C\right)' = \frac{1}{33} \cdot \left((3x + 7)^{11}\right)' + (C)'$
$F'(x) = \frac{1}{33} \cdot 11 \cdot (3x + 7)^{11-1} \cdot (3x+7)' + 0$
$F'(x) = \frac{11}{33} \cdot (3x + 7)^{10} \cdot 3 = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot (3x + 7)^{10} = (3x + 7)^{10}$
Так как $F'(x) = (3x + 7)^{10}$ и $f(x) = (3x + 7)^{10}$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

б)

Даны функции $f(x) = \cos(2x - 1)$ и $F(x) = \frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\sin u)' = \cos u \cdot u'$. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(\frac{1}{2}\sin(2x - 1) + C\right)' = \frac{1}{2}(\sin(2x-1))' + (C)'$
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot (2x - 1)' + 0$
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot \cos(2x - 1) \cdot 2 = \cos(2x - 1)$
Так как $F'(x) = \cos(2x - 1)$ и $f(x) = \cos(2x - 1)$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

в)

Даны функции $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$ и $F(x) = -\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C$.
Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции $(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$. Производная константы $C$ равна нулю.
$F'(x) = \left(-\frac{1}{7}\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) + C\right)' = -\frac{1}{7}\left(\cos\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right)' + (C)'$
$F'(x) = -\frac{1}{7} \cdot \left(-\sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \left(7x - \frac{\pi}{4}\right)' + 0$
$F'(x) = \frac{1}{7} \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right) \cdot 7 = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$
Так как $F'(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$ и $f(x) = \sin\left(7x - \frac{\pi}{4}\right)$, то $F'(x) = f(x)$. Следовательно, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.