Страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.26 a) Что называют криволинейной трапецией?

б) Что такое интегральная сумма?

в) Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм?

а) Что называют криволинейной трапецией?

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью абсцисс (осью Ox), двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, и графиком непрерывной функции $y=f(x)$, которая на отрезке $[a, b]$ является неотрицательной (т.е. $f(x) \geq 0$). Основаниями этой фигуры служат отрезок $[a, b]$ на оси Ox и кривая, являющаяся графиком функции $y=f(x)$, а боковыми сторонами — отрезки прямых $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная отрезком $[a, b]$ оси Ox, отрезками прямых $x=a$ и $x=b$, и графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $[a,b]$ функции $y=f(x)$.

б) Что такое интегральная сумма?

Интегральная сумма для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ представляет собой сумму площадей прямоугольников, которая аппроксимирует площадь под графиком функции. Для её построения выполняются следующие шаги:
1. Отрезок $[a, b]$ разбивается на $n$ малых (элементарных) отрезков $[x_{i-1}, x_i]$ точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$. Длина каждого такого отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
2. На каждом элементарном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выбирается произвольная точка $\xi_i$.
3. Вычисляется значение функции в этой точке, $f(\xi_i)$, которое принимается за высоту прямоугольника с основанием $\Delta x_i$.
Интегральная сумма — это сумма площадей всех таких прямоугольников. Она определяется формулой:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \dots + f(\xi_n)\Delta x_n$.

Ответ: Интегральная сумма для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ — это сумма вида $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$, где отрезок $[a, b]$ разбит на $n$ частичных отрезков длиной $\Delta x_i$, а $\xi_i$ — произвольная точка на $i$-ом частичном отрезке.

в) Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм?

Площадь криволинейной трапеции вычисляется как предел, к которому стремятся интегральные суммы при бесконечном измельчении разбиения отрезка $[a, b]$. Интегральная сумма $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ дает приближенное значение площади. Для получения точного значения площади необходимо, чтобы длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремилась к нулю.
Этот предел, если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек $\xi_i$, и является точным значением площади $S$ криволинейной трапеции. По определению, этот предел называется определённым интегралом функции $f(x)$ от $a$ до $b$.
Таким образом, площадь вычисляется по формуле:
$S = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \,dx$.

Ответ: Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляют как предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка разбиения $(\max \Delta x_i)$ стремится к нулю. Этот предел равен определённому интегралу: $S = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \,dx$.

6.27 Рассмотрим функцию $y = x$ на отрезке $[0; 1]$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём

$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f(\frac{1}{n}) \cdot \frac{1}{n} + f(\frac{2}{n}) \cdot \frac{1}{n} + \dots + f(\frac{n-1}{n}) \cdot \frac{1}{n} = $

$= \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \frac{3}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

n слагаемых

а) Вычислите интегральную сумму: $S_1$; $S_2$; $S_3$; $S_4$ (рис. 145).

Рис. 145

б) Упростите формулу для вычисления $S_n$.

в) Имеет ли последовательность интегральных сумм $S_1$, $S_2$, $S_3$, ..., $S_n$ ... предел при $n \rightarrow +\infty$? Если имеет, то чему он равен?

г) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $y=x$, $y=0$, $x=1$?

а) Вычислим интегральные суммы $S_1, S_2, S_3, S_4$ по общей формуле, представленной в условии: $S_n = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{n}\right) + \dots + f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right) \cdot \frac{1}{n}$. Для функции $f(x)=x$ это выражение принимает вид $S_n = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$.

• При $n=1$, отрезок $[0, 1]$ не делится. Интегральная сумма имеет одно слагаемое, соответствующее левой границе $x=0$.
  $S_1 = f(0) \cdot \frac{1}{1} = 0 \cdot 1 = 0$.

• При $n=2$, отрезок делится на два: $[0, 1/2]$ и $[1/2, 1]$. Левые границы: $0$ и $1/2$.
  $S_2 = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{2}\right)\right) \cdot \frac{1}{2} = \left(0 + \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

• При $n=3$, отрезок делится на три части. Левые границы: $0, 1/3, 2/3$.
  $S_3 = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{3}\right) + f\left(\frac{2}{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{3} = \left(0 + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.

• При $n=4$, отрезок делится на четыре части. Левые границы: $0, 1/4, 2/4, 3/4$.
  $S_4 = \left(f(0) + f\left(\frac{1}{4}\right) + f\left(\frac{2}{4}\right) + f\left(\frac{3}{4}\right)\right) \cdot \frac{1}{4} = \left(0 + \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{3}{4}\right) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1+2+3}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$.

Ответ: $S_1 = 0$; $S_2 = \frac{1}{4}$; $S_3 = \frac{1}{3}$; $S_4 = \frac{3}{8}$.

б) Упростим формулу для вычисления $S_n$.
$S_n = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$
Вынесем общий знаменатель $n$ из скобок:
$S_n = \frac{0 + 1 + 2 + \dots + (n-1)}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1 + 2 + \dots + (n-1)}{n^2}$
Сумма в числителе — это сумма первых $n-1$ натуральных чисел, которая является арифметической прогрессией. Её сумма вычисляется по формуле $S_k = \frac{k(k+1)}{2}$. Для $k = n-1$ получаем:
$1 + 2 + \dots + (n-1) = \frac{(n-1)((n-1)+1)}{2} = \frac{(n-1)n}{2}$
Подставим это выражение в формулу для $S_n$:
$S_n = \frac{\frac{(n-1)n}{2}}{n^2} = \frac{(n-1)n}{2n^2} = \frac{n-1}{2n}$

Ответ: $S_n = \frac{n-1}{2n}$.

в) Найдем предел последовательности интегральных сумм $S_n$ при $n \to +\infty$, используя упрощенную формулу из пункта б).

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{n-1}{2n}$
Для вычисления предела разделим числитель и знаменатель на $n$ (старшую степень переменной):
$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{n}{n} - \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{n}}{2}$
Так как при $n \to +\infty$, выражение $\frac{1}{n}$ стремится к 0, то предел равен:
$\frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$

Ответ: Да, последовательность имеет предел, равный $\frac{1}{2}$.

г) Фигура, ограниченная прямыми $y=x$, $y=0$ (ось абсцисс) и $x=1$, является прямоугольным треугольником. Вершины этого треугольника находятся в точках $(0, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, 1)$.

Катеты треугольника лежат на оси $Ox$ и прямой $x=1$. Длина катета, лежащего на оси $Ox$ (основание), равна $1-0=1$. Длина катета, лежащего на прямой $x=1$ (высота), равна значению функции $y=x$ в точке $x=1$, то есть $y=1$.
Площадь треугольника вычисляется по формуле: $A = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.
$A = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Этот результат совпадает с пределом интегральных сумм из пункта в), что иллюстрирует геометрический смысл определенного интеграла как площади под графиком функции.

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{2}$.

6.28 Рассмотрим функцию $y = -x$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём

$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{2}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + \dots + f\left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} =$

$\left(0 + \frac{-1}{n} + \frac{-2}{n} + \dots + \frac{-(n-1)}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = - \left(\underbrace{0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}}_{n \text{ слагаемых}}\right) \cdot \frac{1}{n}$

а) Чем отличаются интегральные суммы в заданиях 6.27 и 6.28?

б) Чему равен предел интегральной суммы в задании 6.28?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = -x$, $y=0$, $x = 1$ (рис. 146)?

Рис. 146

а) Для ответа на этот вопрос необходимо сделать предположение о содержании задания 6.27, так как оно не предоставлено. Судя по виду записи интегральной суммы $S_n$ в задании 6.28, где отрицательный знак вынесен за скобки, можно предположить, что в задании 6.27 рассматривалась функция $g(x)=x$ на том же отрезке $[0; 1]$ и с тем же выбором точек (левые концы подынтервалов).

Интегральная сумма для функции $g(x) = x$ (предположительно, задание 6.27) выглядела бы так:

$S_{n, g} = g(0)\cdot\frac{1}{n} + g\left(\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} + \ldots + g\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$

Интегральная сумма для функции $f(x) = -x$ из задания 6.28:

$S_{n, f} = f(0)\cdot\frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} + \ldots + f\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} = \left(0 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n} - \ldots - \frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$

Сравнивая два выражения, видим, что $S_{n, f} = - S_{n, g}$.

Таким образом, интегральные суммы отличаются знаком. Это происходит потому, что функции $y=x$ и $y=-x$ симметричны относительно оси абсцисс.

Ответ: При предположении, что в задании 6.27 рассматривалась функция $y=x$, интегральные суммы отличаются знаком. Сумма в задании 6.28 является противоположной по знаку сумме из задания 6.27.

б) Найдём предел интегральной суммы $S_n$ из задания 6.28 при $n \to \infty$.

$S_n = \left(0 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n} - \ldots - \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = -\left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{n}$ из скобок, чтобы упростить выражение:

$S_n = -\frac{1}{n^2} \left(0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1)\right)$

Сумма в скобках — это сумма членов арифметической прогрессии от 0 до $n-1$. Воспользуемся формулой суммы первых $k$ натуральных чисел, которая также верна для суммы от 0 до $k-1$: $\sum_{i=0}^{k-1} i = \frac{(k-1)k}{2}$. В нашем случае $k=n$.

$\sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2}$

Подставим это значение в выражение для $S_n$:

$S_n = -\frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} = -\frac{n-1}{2n}$

Теперь найдем предел этого выражения при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{n-1}{2n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{n(1-1/n)}{2n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1-1/n}{2}\right) = -\frac{1-0}{2} = -\frac{1}{2}$

Этот предел по определению является определённым интегралом $\int_0^1 (-x)dx$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Фигура, ограниченная прямыми $y=-x$, $y=0$ (ось Ox) и $x=1$, представляет собой прямоугольный треугольник, расположенный в четвертой координатной четверти.

Вершины этого треугольника находятся в точках пересечения данных прямых:

• Пересечение $y=-x$ и $y=0$: $-x=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).
• Пересечение $y=0$ и $x=1$: Точка (1, 0).
• Пересечение $y=-x$ и $x=1$: $y=-1$. Точка (1, -1).

Таким образом, вершины треугольника: O(0, 0), A(1, 0), B(1, -1).

Катеты этого прямоугольного треугольника лежат на оси Ox и прямой $x=1$.

Длина горизонтального катета (основания) равна расстоянию между точками (0, 0) и (1, 0), то есть $1-0=1$.

Длина вертикального катета (высоты) равна расстоянию между точками (1, 0) и (1, -1), то есть $|0 - (-1)| = 1$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Стоит отметить, что площадь фигуры равна значению определённого интеграла от модуля функции: $S = \int_0^1 |-x| dx = \int_0^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. Это значение является модулем предела интегральной суммы, найденного в пункте б).

Ответ: $\frac{1}{2}$