Страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.29 а) По плану задания 6.27 вычислите интегральные суммы $S_1, S_2, S_3, S_4$ для функции $y = x + 1, x \in [0; 1]$.

б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \rightarrow +\infty$? Если да, то чему он равен?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = x + 1, y = 0, x = 1$?

а) Для вычисления интегральных сумм $S_n$ будем использовать стандартный подход: отрезок $[a, b]$ разбивается на $n$ равных подынтервалов, а в качестве точек $c_i$ для вычисления значения функции выбираются правые концы этих подынтервалов. Это наиболее распространенная интерпретация для подобных заданий, соответствующая "плану задания 6.27".
Дана функция $y=x+1$ на отрезке $x \in [0; 1]$.
Общая формула для интегральной суммы (суммы Римана) имеет вид: $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(c_i) \Delta x_i$.
В нашем случае:

• Функция $f(x) = x+1$.
• Отрезок $[a, b] = [0, 1]$.
• Длина каждого подынтервала $\Delta x = \frac{b-a}{n} = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$.
• Правые концы подынтервалов (точки $c_i$): $x_i = a + i\Delta x = 0 + i \cdot \frac{1}{n} = \frac{i}{n}$.

Вычислим интегральные суммы для $n = 1, 2, 3, 4$.
1. При $n=1$: $\Delta x = 1, x_1=1$.
$S_1 = f(x_1) \cdot \Delta x = f(1) \cdot 1 = (1+1) \cdot 1 = 2$.
2. При $n=2$: $\Delta x = 1/2, x_1=1/2, x_2=1$.
$S_2 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x = f(1/2) \cdot \frac{1}{2} + f(1) \cdot \frac{1}{2} = \left(\frac{1}{2}+1\right) \cdot \frac{1}{2} + (1+1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$.
3. При $n=3$: $\Delta x = 1/3, x_1=1/3, x_2=2/3, x_3=1$.
$S_3 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x = \left(\frac{1}{3}+1\right)\frac{1}{3} + \left(\frac{2}{3}+1\right)\frac{1}{3} + (1+1)\frac{1}{3} = \frac{4}{3}\frac{1}{3} + \frac{5}{3}\frac{1}{3} + 2\frac{1}{3} = \frac{4}{9} + \frac{5}{9} + \frac{6}{9} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$.
4. При $n=4$: $\Delta x = 1/4, x_1=1/4, x_2=2/4, x_3=3/4, x_4=1$.
$S_4 = f(x_1) \Delta x + f(x_2) \Delta x + f(x_3) \Delta x + f(x_4) \Delta x = \left(\frac{1}{4}+1\right)\frac{1}{4} + \left(\frac{2}{4}+1\right)\frac{1}{4} + \left(\frac{3}{4}+1\right)\frac{1}{4} + (1+1)\frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{6}{16} + \frac{7}{16} + \frac{8}{16} = \frac{26}{16} = \frac{13}{8}$.
Ответ: $S_1 = 2, S_2 = \frac{7}{4}, S_3 = \frac{5}{3}, S_4 = \frac{13}{8}$.

б) Да, предел интегральной суммы $S_n$ при $n \to +\infty$ существует. Это следует из того, что функция $y=x+1$ непрерывна на отрезке $[0; 1]$, а любая непрерывная на отрезке функция является интегрируемой на нем. Предел интегральных сумм равен определенному интегралу.
Для нахождения этого предела выведем общую формулу для $S_n$:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n} + 1\right) \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n} + 1\right) = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} i + \sum_{i=1}^{n} 1 \right)$.
Используя формулу для суммы первых $n$ натуральных чисел $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ и то, что $\sum_{i=1}^{n} 1 = n$, получаем:
$S_n = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \right) = \frac{1}{n} \left( \frac{n+1}{2} + n \right) = \frac{n+1}{2n} + \frac{n}{n} = \frac{n}{2n} + \frac{1}{2n} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{1}{2n}$.
Теперь найдем предел при $n \to +\infty$:
$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{2} + \frac{1}{2n}\right) = \frac{3}{2} + 0 = \frac{3}{2}$.
Проверим результат, вычислив определенный интеграл:
$\int_{0}^{1} (x+1) dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + 1\right) - \left(\frac{0^2}{2} + 0\right) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
Значения совпадают.
Ответ: Да, предел существует и равен $\frac{3}{2}$.

в) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = x + 1$, $y = 0$ (ось Ox) и $x = 1$. В условии не указана левая граница области. Исходя из контекста задачи (в частности, отрезка $[0; 1]$ из пункта а)), логично предположить, что четвертой границей является прямая $x=0$ (ось Oy).
Площадь $S$ такой фигуры (криволинейной трапеции) численно равна определенному интегралу от функции $y=x+1$ в пределах от $x=0$ до $x=1$:
$S = \int_{0}^{1} (x+1) dx$.
Как было вычислено в пункте б), значение этого интеграла равно $\frac{3}{2}$.
$S = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} + 1\right) - (0) = \frac{3}{2}$.
Эту же площадь можно найти и геометрически. Фигура, ограниченная прямыми $y=x+1, y=0, x=0, x=1$, является прямоугольной трапецией с вершинами в точках $(0,0), (1,0), (1,2)$ и $(0,1)$.
Ее параллельные стороны (основания) равны $b_1 = 1$ (значение $y$ при $x=0$) и $b_2 = 2$ (значение $y$ при $x=1$). Высота трапеции $h=1$.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1+b_2}{2}h$:
$S = \frac{1+2}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{3}{2}$.

6.30* Рассмотрим функцию $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём

$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{2}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + \ldots + f\left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} =$

$= \left(0^2 + \left(\frac{1}{n}\right)^2 + \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \ldots + \left(\frac{n-1}{n}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{n} = \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2}{n^3}$

a) Упростите формулу для вычисления $S_n$, пользуясь ранее доказанным равенством $1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$.

б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \rightarrow +\infty$? Если да, то чему он равен?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$?

a) Упростите формулу для вычисления $S_n$, пользуясь ранее доказанным равенством $1^2 + 2^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Исходная формула для $S_n$ имеет вид:

$S_n = \frac{1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2}{n^3}$

Числитель этой дроби представляет собой сумму квадратов первых $n-1$ натуральных чисел. Для ее вычисления воспользуемся данной формулой, заменив в ней $n$ на $n-1$:

$1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2 = \frac{(n-1)((n-1)+1)(2(n-1)+1)}{6} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

Подставим полученное выражение для суммы в формулу для $S_n$:

$S_n = \frac{\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}}{n^3} = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$

Сократим общий множитель $n$ в числителе и знаменателе:

$S_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$

Можно также раскрыть скобки в числителе:

$S_n = \frac{2n^2 - 2n - n + 1}{6n^2} = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$

Ответ: $S_n = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}$ (или в раскрытом виде $S_n = \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$).

б) Существует ли предел интегральной суммы $S_n$ при $n \to +\infty$? Если да, то чему он равен?

Для нахождения предела воспользуемся упрощенной формулой для $S_n$ из пункта а):

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{2n^2 - 3n + 1}{6n^2}$

Так как степени многочленов в числителе и знаменателе равны 2, предел равен отношению коэффициентов при старших степенях $n$:

$\lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Другой способ — разделить числитель и знаменатель на $n^2$ (наивысшую степень $n$):

$\lim_{n \to +\infty} \frac{\frac{2n^2}{n^2} - \frac{3n}{n^2} + \frac{1}{n^2}}{\frac{6n^2}{n^2}} = \lim_{n \to +\infty} \frac{2 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{6}$

При $n \to +\infty$ значения $\frac{3}{n}$ и $\frac{1}{n^2}$ стремятся к нулю. Таким образом, предел равен:

$\frac{2 - 0 + 0}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Следовательно, предел существует.

Ответ: Да, предел существует и равен $\frac{1}{3}$.

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = 1$?

Площадь указанной криволинейной трапеции определяется как определенный интеграл от функции $y=x^2$ на отрезке $[0; 1]$:

$A = \int_{0}^{1} x^2 dx$

По определению, определенный интеграл равен пределу интегральных сумм (сумм Римана) при стремлении числа разбиений $n$ к бесконечности. Сумма $S_n$, данная в условии, как раз и является такой интегральной суммой для функции $y = x^2$ на отрезке $[0; 1]$. Таким образом, искомая площадь равна пределу $S_n$, который мы вычислили в пункте б).

$A = \lim_{n \to +\infty} S_n = \frac{1}{3}$

Проверим результат прямым интегрированием по формуле Ньютона-Лейбница:

$A = \int_{0}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}$

Ответ: Площадь фигуры равна $\frac{1}{3}$.