Страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.6 a) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 (3x + 11)}$, $F(x) = \frac{1}{3} \operatorname{tg} (3x + 11) + C;$

б) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 (-4x + 7)}$, $F(x) = \frac{1}{4} \operatorname{ctg} (-4x + 7) + C;$

В) $f(x) = e^{5x - 2} + e^{2x - 5}$, $F(x) = \frac{1}{5} e^{5x - 2} + \frac{1}{2} e^{2x - 5} + C.$

Для проверки того, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$, то утверждение верно.

а)

Проверим утверждение для функций $f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x+11)}$ и $F(x) = \frac{1}{3}\tg(3x+11) + C$. Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{1}{3}\tg(3x+11) + C\right)' = \left(\frac{1}{3}\tg(3x+11)\right)' + (C)'$

Производная константы $C$ равна нулю. Для нахождения производной первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$, а производная внутренней функции $(3x+11)'=3$.

$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(3x+11)} \cdot (3x+11)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(3x+11)} \cdot 3 = \frac{1}{\cos^2(3x+11)}$

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

б)

Проверим утверждение для функций $f(x) = \frac{1}{\sin^2(-4x+7)}$ и $F(x) = \frac{1}{4}\ctg(-4x+7) + C$. Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{1}{4}\ctg(-4x+7) + C\right)' = \left(\frac{1}{4}\ctg(-4x+7)\right)' + (C)'$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная котангенса $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$, а производная внутренней функции $(-4x+7)'=-4$.

$F'(x) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(-4x+7)}\right) \cdot (-4x+7)' = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(-4x+7)}\right) \cdot (-4) = \frac{4}{4} \cdot \frac{1}{\sin^2(-4x+7)} = \frac{1}{\sin^2(-4x+7)}$

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

в)

Проверим утверждение для функций $f(x) = e^{5x-2} + e^{2x-5}$ и $F(x) = \frac{1}{5}e^{5x-2} + \frac{1}{2}e^{2x-5} + C$. Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования суммы:

$F'(x) = \left(\frac{1}{5}e^{5x-2} + \frac{1}{2}e^{2x-5} + C\right)' = \left(\frac{1}{5}e^{5x-2}\right)' + \left(\frac{1}{2}e^{2x-5}\right)' + (C)'$

Для каждого слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции. Производная экспоненциальной функции $(e^u)' = e^u$.

Производная первого слагаемого: $\left(\frac{1}{5}e^{5x-2}\right)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-2} \cdot (5x-2)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-2} \cdot 5 = e^{5x-2}$

Производная второго слагаемого: $\left(\frac{1}{2}e^{2x-5}\right)' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x-5} \cdot (2x-5)' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x-5} \cdot 2 = e^{2x-5}$

Складываем полученные производные: $F'(x) = e^{5x-2} + e^{2x-5} + 0 = e^{5x-2} + e^{2x-5}$

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

6.7 Для функции $f(x)$ найдите ту первообразную, график которой проходит через точку $A$:

a) $f(x) = x$, $A(2; 0)$;

б) $f(x) = x^2$, $A(3; 6)$;

в) $f(x) = x^3$, $A(-2; 3)$;

г) $f(x) = \sin x$, $A\left(\frac{\pi}{2}; 2\right)$.

а) Для функции $f(x) = x$ найдем общий вид ее первообразных. Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $n=1$, поэтому общий вид первообразной:
$F(x) = \int x \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.
По условию, график этой первообразной проходит через точку $A(2; 0)$. Это означает, что при $x=2$ значение функции $F(x)$ равно $0$, то есть $F(2) = 0$.
Подставим эти значения в формулу для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:
$F(2) = \frac{2^2}{2} + C = 0$
$\frac{4}{2} + C = 0$
$2 + C = 0$
$C = -2$
Таким образом, искомая первообразная имеет вид $F(x) = \frac{x^2}{2} - 2$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} - 2$.

б) Для функции $f(x) = x^2$ найдем общий вид ее первообразных:
$F(x) = \int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.
График первообразной проходит через точку $A(3; 6)$, поэтому должно выполняться равенство $F(3) = 6$.
Подставим значения $x=3$ и $F(x)=6$ в формулу для первообразной:
$F(3) = \frac{3^3}{3} + C = 6$
$\frac{27}{3} + C = 6$
$9 + C = 6$
$C = 6 - 9 = -3$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 3$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^3}{3} - 3$.

в) Для функции $f(x) = x^3$ найдем общий вид ее первообразных:
$F(x) = \int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.
График первообразной проходит через точку $A(-2; 3)$, поэтому $F(-2) = 3$.
Подставим значения $x=-2$ и $F(x)=3$:
$F(-2) = \frac{(-2)^4}{4} + C = 3$
$\frac{16}{4} + C = 3$
$4 + C = 3$
$C = 3 - 4 = -1$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 1$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - 1$.

г) Для функции $f(x) = \sin x$ найдем общий вид ее первообразных. Первообразной для $\sin x$ является $-\cos x$.
$F(x) = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$.
График первообразной проходит через точку $A(\frac{\pi}{2}; 2)$, поэтому $F(\frac{\pi}{2}) = 2$.
Подставим значения $x=\frac{\pi}{2}$ и $F(x)=2$:
$F(\frac{\pi}{2}) = -\cos(\frac{\pi}{2}) + C = 2$
Поскольку $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, получаем:
$-0 + C = 2$
$C = 2$
Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\cos x + 2$.
Ответ: $F(x) = -\cos x + 2$.

Найдите первообразную для функции $f(x)$, если (6.8–6.10):

6.8 а) $f(x) = (5x - 2)^{20}$;

б) $f(x) = \sqrt{x - 5}$;

в) $f(x) = 2^x$;

г) $f(x) = 2^{3x - 1}$;

д) $f(x) = 3^x$;

е) $f(x) = 3^{2x + 7}$;

ж) $f(x) = \frac{1}{4x - 2}$;

з) $f(x) = \frac{1}{-5x + 2}$;

и) $f(x) = \frac{5}{x - 4}$.

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (5x - 2)^{20}$ воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $k=5$, $b=-2$ и $n=20$.

Подставляя значения, получаем:

$F(x) = \int (5x - 2)^{20} dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^{20+1}}{20+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^{21}}{21} + C = \frac{(5x-2)^{21}}{105} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(5x-2)^{21}}{105} + C$

б) Представим функцию в виде $f(x) = (x-5)^{1/2}$. Это степенная функция. Применяем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=1$, $b=-5$ и $n=1/2$.

Первообразная будет:

$F(x) = \int (x-5)^{1/2} dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-5)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x-5)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x-5)^{3/2} + C$.

Результат также можно записать в виде $ \frac{2}{3}(x-5)\sqrt{x-5} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x-5)^{3/2} + C$

в) Это показательная функция. Первообразная для функции $f(x) = a^x$ находится по формуле $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В нашем случае $a=2$.

Следовательно, первообразная:

$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

г) Для нахождения первообразной функции $f(x) = a^{kx+b}$ используется формула $F(x) = \frac{1}{k} \frac{a^{kx+b}}{\ln a} + C$. В данном случае $a=2$, $k=3$, $b=-1$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$F(x) = \frac{1}{3} \frac{2^{3x-1}}{\ln 2} + C = \frac{2^{3x-1}}{3 \ln 2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2^{3x-1}}{3 \ln 2} + C$

д) Аналогично пункту в), это показательная функция $f(x) = a^x$ с основанием $a=3$. Используем формулу $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

Первообразная равна:

$F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C$

е) Аналогично пункту г), для функции $f(x) = a^{kx+b}$ первообразная равна $F(x) = \frac{1}{k} \frac{a^{kx+b}}{\ln a} + C$. Здесь $a=3$, $k=2$, $b=7$.

Таким образом, первообразная:

$F(x) = \frac{1}{2} \frac{3^{2x+7}}{\ln 3} + C = \frac{3^{2x+7}}{2 \ln 3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3^{2x+7}}{2 \ln 3} + C$

ж) Для функции вида $f(x) = \frac{1}{kx+b}$ первообразной является $F(x) = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$. В данном случае $k=4$, $b=-2$.

Применяя формулу, получаем:

$F(x) = \frac{1}{4} \ln|4x - 2| + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4} \ln|4x - 2| + C$

з) Используем ту же формулу, что и в пункте ж): $F(x) = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$. Здесь $k=-5$, $b=2$.

Первообразная будет:

$F(x) = \frac{1}{-5} \ln|-5x + 2| + C = -\frac{1}{5} \ln|2 - 5x| + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5} \ln|2 - 5x| + C$

и) Функцию можно записать как $f(x) = 5 \cdot \frac{1}{x-4}$. Используем свойство линейности интеграла и формулу для $f(x) = \frac{1}{kx+b}$. Здесь $k=1$, $b=-4$, а постоянный множитель равен 5.

Первообразная равна:

$F(x) = 5 \int \frac{1}{x-4} dx = 5 \cdot \left(\frac{1}{1} \ln|x-4|\right) + C = 5 \ln|x-4| + C$.

Ответ: $F(x) = 5 \ln|x - 4| + C$

6.9 a) $f(x) = \frac{x^{-3}\sqrt{x}}{x^2}$; б) $f(x) = \frac{x^3\sqrt[3]{x^{-5}}}{x^{-2}}$; В) $f(x) = \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$;

Г) $f(x) = \frac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}$; Д) $f(x) = \sqrt[3]{(7x-9)^2}$; е) $f(x) = \sqrt[4]{(5x+1)^3}$.

а) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x^{-3} \sqrt[3]{x}}{x^2}$ представим все степени и корни в виде степеней с рациональными показателями. Корень третьей степени из $x$ это $x$ в степени $1/3$: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Подставим это в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^{-3} \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^{-3} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{-3 + \frac{1}{3}} = x^{-\frac{9}{3} + \frac{1}{3}} = x^{-\frac{8}{3}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{-\frac{8}{3}}}{x^2}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $f(x) = x^{-\frac{8}{3} - 2} = x^{-\frac{8}{3} - \frac{6}{3}} = x^{-\frac{14}{3}}$.
Ответ: $f(x) = x^{-\frac{14}{3}}$.

б) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x^3 \sqrt{x^{-5}}}{x^{-2}}$ представим корень в виде степени с рациональным показателем. Квадратный корень из $x^{-5}$ это $x^{-5}$ в степени $1/2$: $\sqrt{x^{-5}} = (x^{-5})^{\frac{1}{2}} = x^{-5 \cdot \frac{1}{2}} = x^{-\frac{5}{2}}$. Подставим это в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^3 \cdot x^{-\frac{5}{2}}}{x^{-2}}$. Упростим числитель, сложив показатели степеней: $x^3 \cdot x^{-\frac{5}{2}} = x^{3 - \frac{5}{2}} = x^{\frac{6}{2} - \frac{5}{2}} = x^{\frac{1}{2}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{-2}}$. Упростим дробь, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя: $f(x) = x^{\frac{1}{2} - (-2)} = x^{\frac{1}{2} + 2} = x^{\frac{1}{2} + \frac{4}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$.
Ответ: $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$.

в) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Подставим в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$. Упростим числитель: $x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$. Упростим дробь: $f(x) = x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = x^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{7}{6}}$.
Ответ: $f(x) = x^{\frac{7}{6}}$.

г) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$ и $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Подставим в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$. Упростим числитель: $x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{1 + \frac{2}{3}} = x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$. Упростим дробь: $f(x) = x^{\frac{5}{3} - \frac{1}{2}} = x^{\frac{10}{6} - \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}$.
Ответ: $f(x) = x^{\frac{7}{6}}$.

д) Для функции $f(x) = \sqrt[3]{(7x-9)^2}$ используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы представить ее в виде степени. В данном случае основание $a = 7x-9$, степень корня $n = 3$, а показатель подкоренного выражения $m = 2$. Таким образом, получаем: $f(x) = (7x-9)^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $f(x) = (7x-9)^{\frac{2}{3}}$.

е) Для функции $f(x) = \sqrt[4]{(5x+1)^3}$ используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы представить ее в виде степени. В данном случае основание $a = 5x+1$, степень корня $n = 4$, а показатель подкоренного выражения $m = 3$. Таким образом, получаем: $f(x) = (5x+1)^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $f(x) = (5x+1)^{\frac{3}{4}}$.

6.10* a) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$; б) $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$; В) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}$;

Г) $f(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2}$; Д) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$; е) $f(x) = \frac{1}{1 + 4x^2}$.

а) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$.

Первообразной для функции $f(x)$ является ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x) dx$. В данном случае:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} dx$.

Этот интеграл является табличным. Он соответствует производной функции арксинус.

Следовательно, $F(x) = \arcsin(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \arcsin(x) + C$.

б) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$.

Первообразная находится путем вычисления неопределенного интеграла:

$F(x) = \int \frac{1}{1 + x^2} dx$.

Этот интеграл также является табличным и соответствует производной функции арктангенс.

Таким образом, $F(x) = \arctan(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

Ответ: $F(x) = \arctan(x) + C$.

в) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (2x)^2}} dx$.

Для решения этого интеграла используем метод замены переменной. Пусть $u = 2x$. Тогда дифференциал $du = (2x)' dx = 2 dx$, откуда следует, что $dx = \frac{du}{2}$.

Подставим замену в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$.

Интеграл $\int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$ является табличным и равен $\arcsin(u)$.

Тогда $F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(u) + C$.

Теперь выполним обратную замену, подставив $2x$ вместо $u$:

$F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \arcsin(2x) + C$.

г) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + (3x)^2}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{1 + (3x)^2} dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $u = 3x$. Тогда $du = 3 dx$, и $dx = \frac{du}{3}$.

Выполним подстановку в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + u^2} du$.

Интеграл $\int \frac{1}{1 + u^2} du$ является табличным и равен $\arctan(u)$.

Следовательно, $F(x) = \frac{1}{3} \arctan(u) + C$.

Выполним обратную замену $u = 3x$:

$F(x) = \frac{1}{3} \arctan(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \arctan(3x) + C$.

д) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - 9x^2}}$.

Сначала преобразуем выражение в знаменателе: $9x^2 = (3x)^2$. Таким образом, $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - (3x)^2}} dx$.

Используем замену переменной: пусть $u = 3x$. Тогда $du = 3 dx$, откуда $dx = \frac{du}{3}$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} du$.

Полученный интеграл является табличным и равен $\arcsin(u)$.

Тогда $F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(u) + C$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем:

$F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{3} \arcsin(3x) + C$.

е) Требуется найти первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{1 + 4x^2}$.

Преобразуем знаменатель: $4x^2 = (2x)^2$. Тогда $f(x) = \frac{1}{1 + (2x)^2}$.

Найдем интеграл $F(x) = \int \frac{1}{1 + (2x)^2} dx$.

Применим замену переменной: пусть $u = 2x$. Тогда $du = 2 dx$, откуда $dx = \frac{du}{2}$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u^2} du$.

Полученный интеграл является табличным и равен $\arctan(u)$.

Следовательно, $F(x) = \frac{1}{2} \arctan(u) + C$.

Выполним обратную замену $u = 2x$:

$F(x) = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \arctan(2x) + C$.

6.11° a) Что называют неопределённым интегралом от непрерывной на интервале $(a; b)$ функции $f(x)$?

б) Как обозначают неопределённый интеграл?

в) Как проверить правильность нахождения неопределённого интеграла?

г) В чём заключается основное свойство неопределённого интеграла?

а) Неопределённым интегралом от непрерывной на интервале $(a; b)$ функции $f(x)$ называют совокупность всех её первообразных на этом интервале. Первообразной для функции $f(x)$ на заданном интервале называется такая функция $F(x)$, производная которой для всех $x$ из этого интервала равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Если $F(x)$ — одна из первообразных для функции $f(x)$, то любая другая первообразная имеет вид $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа). Таким образом, неопределённый интеграл представляет собой семейство функций.

Ответ: Совокупность всех первообразных $F(x) + C$ для функции $f(x)$ на интервале $(a; b)$.

б) Неопределённый интеграл от функции $f(x)$ по переменной $x$ обозначается следующим образом:

$\int f(x) \,dx$

Здесь:

• $\int$ — знак интеграла.
• $f(x)$ — подынтегральная функция.
• $f(x) \,dx$ — подынтегральное выражение.
• $dx$ — дифференциал переменной интегрирования, который указывает, по какой переменной производится интегрирование.

Ответ: Неопределённый интеграл обозначается как $\int f(x) \,dx$.

в) Правильность нахождения неопределённого интеграла проверяется с помощью дифференцирования. Интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными операциями.

Если в результате интегрирования функции $f(x)$ получено выражение $F(x) + C$, то есть $\int f(x) \,dx = F(x) + C$, то для проверки необходимо найти производную от результата:

$(F(x) + C)' = F'(x) + (C)' = F'(x) + 0 = F'(x)$

Если производная $F'(x)$ равна исходной подынтегральной функции $f(x)$, то неопределённый интеграл найден правильно.

Ответ: Нужно продифференцировать полученный результат. Производная от результата должна быть равна исходной подынтегральной функции.

г) Основное свойство неопределённого интеграла заключается в том, что производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. Математически это свойство записывается так:

$(\int f(x) \,dx)' = f(x)$

Это свойство подчёркивает, что операция дифференцирования является обратной к операции интегрирования. Также это свойство можно записать в виде дифференциалов: дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению.

$d(\int f(x) \,dx) = f(x) \,dx$

Ответ: Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции.