Номер 6.8, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.8, страница 171.
№6.8 (с. 171)
Условие. №6.8 (с. 171)
скриншот условия

Найдите первообразную для функции $f(x)$, если (6.8–6.10):
6.8 а) $f(x) = (5x - 2)^{20}$;
б) $f(x) = \sqrt{x - 5}$;
в) $f(x) = 2^x$;
г) $f(x) = 2^{3x - 1}$;
д) $f(x) = 3^x$;
е) $f(x) = 3^{2x + 7}$;
ж) $f(x) = \frac{1}{4x - 2}$;
з) $f(x) = \frac{1}{-5x + 2}$;
и) $f(x) = \frac{5}{x - 4}$.
Решение 1. №6.8 (с. 171)









Решение 2. №6.8 (с. 171)


Решение 4. №6.8 (с. 171)
а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (5x - 2)^{20}$ воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $k=5$, $b=-2$ и $n=20$.
Подставляя значения, получаем:
$F(x) = \int (5x - 2)^{20} dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^{20+1}}{20+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^{21}}{21} + C = \frac{(5x-2)^{21}}{105} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{(5x-2)^{21}}{105} + C$
б) Представим функцию в виде $f(x) = (x-5)^{1/2}$. Это степенная функция. Применяем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=1$, $b=-5$ и $n=1/2$.
Первообразная будет:
$F(x) = \int (x-5)^{1/2} dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-5)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x-5)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x-5)^{3/2} + C$.
Результат также можно записать в виде $ \frac{2}{3}(x-5)\sqrt{x-5} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x-5)^{3/2} + C$
в) Это показательная функция. Первообразная для функции $f(x) = a^x$ находится по формуле $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В нашем случае $a=2$.
Следовательно, первообразная:
$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$
г) Для нахождения первообразной функции $f(x) = a^{kx+b}$ используется формула $F(x) = \frac{1}{k} \frac{a^{kx+b}}{\ln a} + C$. В данном случае $a=2$, $k=3$, $b=-1$.
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
$F(x) = \frac{1}{3} \frac{2^{3x-1}}{\ln 2} + C = \frac{2^{3x-1}}{3 \ln 2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2^{3x-1}}{3 \ln 2} + C$
д) Аналогично пункту в), это показательная функция $f(x) = a^x$ с основанием $a=3$. Используем формулу $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$.
Первообразная равна:
$F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C$
е) Аналогично пункту г), для функции $f(x) = a^{kx+b}$ первообразная равна $F(x) = \frac{1}{k} \frac{a^{kx+b}}{\ln a} + C$. Здесь $a=3$, $k=2$, $b=7$.
Таким образом, первообразная:
$F(x) = \frac{1}{2} \frac{3^{2x+7}}{\ln 3} + C = \frac{3^{2x+7}}{2 \ln 3} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{3^{2x+7}}{2 \ln 3} + C$
ж) Для функции вида $f(x) = \frac{1}{kx+b}$ первообразной является $F(x) = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$. В данном случае $k=4$, $b=-2$.
Применяя формулу, получаем:
$F(x) = \frac{1}{4} \ln|4x - 2| + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{1}{4} \ln|4x - 2| + C$
з) Используем ту же формулу, что и в пункте ж): $F(x) = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$. Здесь $k=-5$, $b=2$.
Первообразная будет:
$F(x) = \frac{1}{-5} \ln|-5x + 2| + C = -\frac{1}{5} \ln|2 - 5x| + C$.
Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5} \ln|2 - 5x| + C$
и) Функцию можно записать как $f(x) = 5 \cdot \frac{1}{x-4}$. Используем свойство линейности интеграла и формулу для $f(x) = \frac{1}{kx+b}$. Здесь $k=1$, $b=-4$, а постоянный множитель равен 5.
Первообразная равна:
$F(x) = 5 \int \frac{1}{x-4} dx = 5 \cdot \left(\frac{1}{1} \ln|x-4|\right) + C = 5 \ln|x-4| + C$.
Ответ: $F(x) = 5 \ln|x - 4| + C$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.8 расположенного на странице 171 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.8 (с. 171), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.