Номер 6.8, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.8, страница 171.

Условие.

Найдите первообразную для функции $f(x)$, если (6.8–6.10):

6.8 а) $f(x) = (5x - 2)^{20}$;

б) $f(x) = \sqrt{x - 5}$;

в) $f(x) = 2^x$;

г) $f(x) = 2^{3x - 1}$;

д) $f(x) = 3^x$;

е) $f(x) = 3^{2x + 7}$;

ж) $f(x) = \frac{1}{4x - 2}$;

з) $f(x) = \frac{1}{-5x + 2}$;

и) $f(x) = \frac{5}{x - 4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения первообразной функции $f(x) = (5x - 2)^{20}$ воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции сложного аргумента $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $k=5$, $b=-2$ и $n=20$.

Подставляя значения, получаем:

$F(x) = \int (5x - 2)^{20} dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^{20+1}}{20+1} + C = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5x-2)^{21}}{21} + C = \frac{(5x-2)^{21}}{105} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{(5x-2)^{21}}{105} + C$

б) Представим функцию в виде $f(x) = (x-5)^{1/2}$. Это степенная функция. Применяем ту же формулу $\int (kx+b)^n dx = \frac{1}{k} \frac{(kx+b)^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь $k=1$, $b=-5$ и $n=1/2$.

Первообразная будет:

$F(x) = \int (x-5)^{1/2} dx = \frac{1}{1} \cdot \frac{(x-5)^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{(x-5)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(x-5)^{3/2} + C$.

Результат также можно записать в виде $ \frac{2}{3}(x-5)\sqrt{x-5} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{3}(x-5)^{3/2} + C$

в) Это показательная функция. Первообразная для функции $f(x) = a^x$ находится по формуле $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В нашем случае $a=2$.

Следовательно, первообразная:

$F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

г) Для нахождения первообразной функции $f(x) = a^{kx+b}$ используется формула $F(x) = \frac{1}{k} \frac{a^{kx+b}}{\ln a} + C$. В данном случае $a=2$, $k=3$, $b=-1$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем:

$F(x) = \frac{1}{3} \frac{2^{3x-1}}{\ln 2} + C = \frac{2^{3x-1}}{3 \ln 2} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2^{3x-1}}{3 \ln 2} + C$

д) Аналогично пункту в), это показательная функция $f(x) = a^x$ с основанием $a=3$. Используем формулу $F(x) = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

Первообразная равна:

$F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + C$

е) Аналогично пункту г), для функции $f(x) = a^{kx+b}$ первообразная равна $F(x) = \frac{1}{k} \frac{a^{kx+b}}{\ln a} + C$. Здесь $a=3$, $k=2$, $b=7$.

Таким образом, первообразная:

$F(x) = \frac{1}{2} \frac{3^{2x+7}}{\ln 3} + C = \frac{3^{2x+7}}{2 \ln 3} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{3^{2x+7}}{2 \ln 3} + C$

ж) Для функции вида $f(x) = \frac{1}{kx+b}$ первообразной является $F(x) = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$. В данном случае $k=4$, $b=-2$.

Применяя формулу, получаем:

$F(x) = \frac{1}{4} \ln|4x - 2| + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{4} \ln|4x - 2| + C$

з) Используем ту же формулу, что и в пункте ж): $F(x) = \frac{1}{k} \ln|kx+b| + C$. Здесь $k=-5$, $b=2$.

Первообразная будет:

$F(x) = \frac{1}{-5} \ln|-5x + 2| + C = -\frac{1}{5} \ln|2 - 5x| + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{5} \ln|2 - 5x| + C$

и) Функцию можно записать как $f(x) = 5 \cdot \frac{1}{x-4}$. Используем свойство линейности интеграла и формулу для $f(x) = \frac{1}{kx+b}$. Здесь $k=1$, $b=-4$, а постоянный множитель равен 5.

Первообразная равна:

$F(x) = 5 \int \frac{1}{x-4} dx = 5 \cdot \left(\frac{1}{1} \ln|x-4|\right) + C = 5 \ln|x-4| + C$.

Ответ: $F(x) = 5 \ln|x - 4| + C$