Номер 6.2, страница 170 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.2, страница 170.

Условие.

Докажите, что функция $F(x)$ есть первообразная для функции $f(x)$, если (6.2–6.3):

6.2 а) $f(x) = 0, F(x) = C;$

б) $f(x) = 1, F(x) = x;$

в) $f(x) = C, F(x) = Cx;$

г) $f(x) = x, F(x) = \frac{x^2}{2};$

д) $f(x) = x^2, F(x) = \frac{x^3}{3};$

е) $f(x) = x^n, F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} (n \in N).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Согласно определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$. Для доказательства необходимо найти производную функции $F(x)$ и сравнить ее с функцией $f(x)$ в каждом из пунктов.

а)

Даны функции $f(x) = 0$ и $F(x) = C$, где $C$ — некоторая постоянная.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (C)'$
Производная константы равна нулю, следовательно:
$F'(x) = 0$
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $0 = 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б)

Даны функции $f(x) = 1$ и $F(x) = x$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (x)'$
По таблице производных, производная $x$ равна 1:
$F'(x) = 1$
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $1 = 1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

в)

Даны функции $f(x) = C$ и $F(x) = Cx$, где $C$ — некоторая постоянная.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = (Cx)'$
Используя правило вынесения постоянного множителя за знак производной, получаем:
$F'(x) = C \cdot (x)' = C \cdot 1 = C$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $C=C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

г)

Даны функции $f(x) = x$ и $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{x^2}{2}\right)'$
Выносим постоянный множитель $\frac{1}{2}$ и используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$F'(x) = \frac{1}{2} \cdot (x^2)' = \frac{1}{2} \cdot 2x^{2-1} = \frac{1}{2} \cdot 2x = x$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $x = x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

д)

Даны функции $f(x) = x^2$ и $F(x) = \frac{x^3}{3}$.
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{x^3}{3}\right)'$
Выносим постоянный множитель $\frac{1}{3}$ и используем формулу производной степенной функции:
$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot (x^3)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $x^2 = x^2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

е)

Даны функции $f(x) = x^n$ и $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, где $n \in N$ (n — натуральное число).
Найдем производную функции $F(x)$:
$F'(x) = \left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)'$
Поскольку $n$ — натуральное число, $n+1$ является константой, не равной нулю. Выносим постоянный множитель $\frac{1}{n+1}$ и используем формулу производной степенной функции:
$F'(x) = \frac{1}{n+1} \cdot (x^{n+1})' = \frac{1}{n+1} \cdot (n+1)x^{(n+1)-1} = \frac{n+1}{n+1}x^n = x^n$.
Сравнивая результат с функцией $f(x)$, получаем $F'(x) = f(x)$, так как $x^n = x^n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.