Номер 6.9, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.9, страница 171.

Условие.

6.9 a) $f(x) = \frac{x^{-3}\sqrt{x}}{x^2}$; б) $f(x) = \frac{x^3\sqrt[3]{x^{-5}}}{x^{-2}}$; В) $f(x) = \frac{x\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$;

Г) $f(x) = \frac{x\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}$; Д) $f(x) = \sqrt[3]{(7x-9)^2}$; е) $f(x) = \sqrt[4]{(5x+1)^3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x^{-3} \sqrt[3]{x}}{x^2}$ представим все степени и корни в виде степеней с рациональными показателями. Корень третьей степени из $x$ это $x$ в степени $1/3$: $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Подставим это в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^{-3} \cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^{-3} \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{-3 + \frac{1}{3}} = x^{-\frac{9}{3} + \frac{1}{3}} = x^{-\frac{8}{3}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{-\frac{8}{3}}}{x^2}$. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $f(x) = x^{-\frac{8}{3} - 2} = x^{-\frac{8}{3} - \frac{6}{3}} = x^{-\frac{14}{3}}$.
Ответ: $f(x) = x^{-\frac{14}{3}}$.

б) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x^3 \sqrt{x^{-5}}}{x^{-2}}$ представим корень в виде степени с рациональным показателем. Квадратный корень из $x^{-5}$ это $x^{-5}$ в степени $1/2$: $\sqrt{x^{-5}} = (x^{-5})^{\frac{1}{2}} = x^{-5 \cdot \frac{1}{2}} = x^{-\frac{5}{2}}$. Подставим это в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^3 \cdot x^{-\frac{5}{2}}}{x^{-2}}$. Упростим числитель, сложив показатели степеней: $x^3 \cdot x^{-\frac{5}{2}} = x^{3 - \frac{5}{2}} = x^{\frac{6}{2} - \frac{5}{2}} = x^{\frac{1}{2}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{-2}}$. Упростим дробь, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя: $f(x) = x^{\frac{1}{2} - (-2)} = x^{\frac{1}{2} + 2} = x^{\frac{1}{2} + \frac{4}{2}} = x^{\frac{5}{2}}$.
Ответ: $f(x) = x^{\frac{5}{2}}$.

в) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$. Подставим в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$. Упростим числитель: $x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$. Упростим дробь: $f(x) = x^{\frac{3}{2} - \frac{1}{3}} = x^{\frac{9}{6} - \frac{2}{6}} = x^{\frac{7}{6}}$.
Ответ: $f(x) = x^{\frac{7}{6}}$.

г) Для упрощения функции $f(x) = \frac{x \sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}$ представим корни в виде степеней с рациональными показателями: $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$ и $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Подставим в исходное выражение: $f(x) = \frac{x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$. Упростим числитель: $x^1 \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{1 + \frac{2}{3}} = x^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$. Теперь выражение имеет вид: $f(x) = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}$. Упростим дробь: $f(x) = x^{\frac{5}{3} - \frac{1}{2}} = x^{\frac{10}{6} - \frac{3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}$.
Ответ: $f(x) = x^{\frac{7}{6}}$.

д) Для функции $f(x) = \sqrt[3]{(7x-9)^2}$ используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы представить ее в виде степени. В данном случае основание $a = 7x-9$, степень корня $n = 3$, а показатель подкоренного выражения $m = 2$. Таким образом, получаем: $f(x) = (7x-9)^{\frac{2}{3}}$.
Ответ: $f(x) = (7x-9)^{\frac{2}{3}}$.

е) Для функции $f(x) = \sqrt[4]{(5x+1)^3}$ используем свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы представить ее в виде степени. В данном случае основание $a = 5x+1$, степень корня $n = 4$, а показатель подкоренного выражения $m = 3$. Таким образом, получаем: $f(x) = (5x+1)^{\frac{3}{4}}$.
Ответ: $f(x) = (5x+1)^{\frac{3}{4}}$.