Номер 6.6, страница 171 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.6, страница 171.

Условие.

6.6 a) $f(x) = \frac{1}{\cos^2 (3x + 11)}$, $F(x) = \frac{1}{3} \operatorname{tg} (3x + 11) + C;$

б) $f(x) = \frac{1}{\sin^2 (-4x + 7)}$, $F(x) = \frac{1}{4} \operatorname{ctg} (-4x + 7) + C;$

В) $f(x) = e^{5x - 2} + e^{2x - 5}$, $F(x) = \frac{1}{5} e^{5x - 2} + \frac{1}{2} e^{2x - 5} + C.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Для проверки того, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$. Если $F'(x) = f(x)$, то утверждение верно.

а)

Проверим утверждение для функций $f(x) = \frac{1}{\cos^2(3x+11)}$ и $F(x) = \frac{1}{3}\tg(3x+11) + C$. Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{1}{3}\tg(3x+11) + C\right)' = \left(\frac{1}{3}\tg(3x+11)\right)' + (C)'$

Производная константы $C$ равна нулю. Для нахождения производной первого слагаемого используем правило дифференцирования сложной функции. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$, а производная внутренней функции $(3x+11)'=3$.

$F'(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(3x+11)} \cdot (3x+11)' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos^2(3x+11)} \cdot 3 = \frac{1}{\cos^2(3x+11)}$

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

б)

Проверим утверждение для функций $f(x) = \frac{1}{\sin^2(-4x+7)}$ и $F(x) = \frac{1}{4}\ctg(-4x+7) + C$. Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = \left(\frac{1}{4}\ctg(-4x+7) + C\right)' = \left(\frac{1}{4}\ctg(-4x+7)\right)' + (C)'$

Используем правило дифференцирования сложной функции. Производная котангенса $(\ctg u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$, а производная внутренней функции $(-4x+7)'=-4$.

$F'(x) = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(-4x+7)}\right) \cdot (-4x+7)' = \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(-4x+7)}\right) \cdot (-4) = \frac{4}{4} \cdot \frac{1}{\sin^2(-4x+7)} = \frac{1}{\sin^2(-4x+7)}$

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.

в)

Проверим утверждение для функций $f(x) = e^{5x-2} + e^{2x-5}$ и $F(x) = \frac{1}{5}e^{5x-2} + \frac{1}{2}e^{2x-5} + C$. Найдем производную функции $F(x)$, используя правило дифференцирования суммы:

$F'(x) = \left(\frac{1}{5}e^{5x-2} + \frac{1}{2}e^{2x-5} + C\right)' = \left(\frac{1}{5}e^{5x-2}\right)' + \left(\frac{1}{2}e^{2x-5}\right)' + (C)'$

Для каждого слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции. Производная экспоненциальной функции $(e^u)' = e^u$.

Производная первого слагаемого: $\left(\frac{1}{5}e^{5x-2}\right)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-2} \cdot (5x-2)' = \frac{1}{5} \cdot e^{5x-2} \cdot 5 = e^{5x-2}$

Производная второго слагаемого: $\left(\frac{1}{2}e^{2x-5}\right)' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x-5} \cdot (2x-5)' = \frac{1}{2} \cdot e^{2x-5} \cdot 2 = e^{2x-5}$

Складываем полученные производные: $F'(x) = e^{5x-2} + e^{2x-5} + 0 = e^{5x-2} + e^{2x-5}$

Так как $F'(x) = f(x)$, утверждение верно.

Ответ: утверждение верно.