Номер 6.12, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.12, страница 172.

Условие.

Найдите неопределенный интеграл (6.12—6.17):

6.12 а) $\int x dx;$ б) $\int x^2 dx;$ в) $\int x^3 dx;$ г) $\int \sin x dx;$
д) $\int \cos x dx;$ е) $\int \frac{dx}{\cos^2 x};$ ж) $\int \frac{dx}{\sin^2 x};$ з) $\int e^x dx;$
и) $\int 8^x dx;$ к) $\int \frac{dx}{x};$ л) $\int x^{\frac{2}{3}} dx;$ м) $\int \sqrt{x} dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Для нахождения интеграла $\int x \,dx$ используется формула интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В данном случае $x$ находится в первой степени, то есть $n=1$.

Применяя формулу, получаем:

$\int x^1 \,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$.

Ответ: $\frac{x^2}{2} + C$.

б)

Аналогично предыдущему пункту, используем формулу для степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Здесь показатель степени $n=2$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$\int x^2 \,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$.

Ответ: $\frac{x^3}{3} + C$.

в)

Снова применяем формулу интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, но на этот раз с $n=3$.

$\int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$.

Ответ: $\frac{x^4}{4} + C$.

г)

Интеграл от функции $\sin x$ является табличным. Первообразная для $\sin x$ — это $-\cos x$.

$\int \sin x \,dx = -\cos x + C$.

Ответ: $-\cos x + C$.

д)

Интеграл от функции $\cos x$ также является табличным. Первообразная для $\cos x$ — это $\sin x$.

$\int \cos x \,dx = \sin x + C$.

Ответ: $\sin x + C$.

е)

Данный интеграл является табличным. Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2 x}$ — это $\tan x$, так как производная от $\tan x$ равна $\frac{1}{\cos^2 x}$.

$\int \frac{dx}{\cos^2 x} = \tan x + C$.

Ответ: $\tan x + C$.

ж)

Этот интеграл также табличный. Первообразная для функции $\frac{1}{\sin^2 x}$ — это $-\cot x$, так как производная от $\cot x$ равна $-\frac{1}{\sin^2 x}$.

$\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$.

Ответ: $-\cot x + C$.

з)

Интеграл от экспоненциальной функции $e^x$ равен самой этой функции, что является одним из фундаментальных свойств числа $e$.

$\int e^x \,dx = e^x + C$.

Ответ: $e^x + C$.

и)

Для нахождения интеграла от показательной функции с основанием $a$ используется формула $\int a^x \,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$. В данном случае основание $a=8$.

$\int 8^x \,dx = \frac{8^x}{\ln 8} + C$.

Ответ: $\frac{8^x}{\ln 8} + C$.

к)

Интеграл от $\frac{1}{x}$ является табличным и равен натуральному логарифму модуля $x$. Модуль необходим, так как подынтегральная функция определена для всех $x \neq 0$, а функция $\ln x$ — только для $x > 0$.

$\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C$.

Ответ: $\ln|x| + C$.

л)

Для решения этого интеграла сначала вынесем константу $2$ за знак интеграла, а затем представим $\frac{1}{x^3}$ в виде $x^{-3}$.

$\int \frac{2}{x^3} \,dx = 2 \int x^{-3} \,dx$.

Теперь применяем формулу для степенной функции с $n=-3$:

$2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C = -x^{-2} + C = -\frac{1}{x^2} + C$.

Ответ: $-\frac{1}{x^2} + C$.

м)

Сначала представим квадратный корень из $x$ в виде степенной функции $x^{1/2}$.

$\int \sqrt{x} \,dx = \int x^{1/2} \,dx$.

Далее используем формулу интегрирования степенной функции с $n=1/2$:

$\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

Этот результат также можно записать в виде $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

Ответ: $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$.