Номер 6.18, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.18, страница 172.

Условие.

6.18* Докажите справедливость равенства:

a) $\int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C (x \ne 0);$

б) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = - \arccos x + C (-1 < x < 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Чтобы доказать справедливость равенства $ \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C $, необходимо показать, что производная правой части равна подынтегральному выражению. То есть, нужно доказать, что $ (\ln|x| + C)' = \frac{1}{x} $.

Производная константы $ C $ равна нулю. Рассмотрим производную функции $ \ln|x| $. Функция определена для всех $ x \neq 0 $. Разберем два случая:

1. При $ x > 0 $, имеем $ |x| = x $. Тогда производная равна: $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $.

2. При $ x < 0 $, имеем $ |x| = -x $. Используя правило дифференцирования сложной функции, получаем: $ (\ln(-x))' = \frac{1}{-x} \cdot (-x)' = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x} $.

Таким образом, для всех $ x \neq 0 $ производная функции $ \ln|x| $ равна $ \frac{1}{x} $. Следовательно, $ (\ln|x| + C)' = \frac{1}{x} $, и равенство доказано по определению неопределенного интеграла.

Ответ: Равенство доказано.

б)

Чтобы доказать справедливость равенства $ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = -\arccos x + C $, необходимо показать, что производная правой части равна подынтегральной функции. То есть, нужно доказать, что $ (-\arccos x + C)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $.

Производная константы $ C $ равна нулю. Нам нужно найти производную от $ -\arccos x $. Воспользуемся известной формулой для производной арккосинуса, которая справедлива для $ -1 < x < 1 $: $ (\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $.

Тогда производная правой части исходного равенства будет: $ (-\arccos x + C)' = -(\arccos x)' + (C)' = - \left( -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) + 0 = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $.

Поскольку производная функции $ -\arccos x + C $ равна подынтегральной функции $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $, равенство является верным по определению неопределенного интеграла.

Ответ: Равенство доказано.