Номер 6.15, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.15, страница 172.

Условие.

6.15* a) $\int \left( 5 \sin 2x - 3 \cos \frac{x}{2} \right) dx;$

б) $\int \left( \frac{5}{x+1} - e^{5x-1} \right) dx;$

в) $\int \left( \frac{3}{\sin^2 (x+1)} + \frac{7}{\cos^2 (x-1)} \right) dx;$

г) $\int \left( \sqrt{x^3 + 3x^2 + 3x + 1} - \sqrt[3]{x^2 - 6x + 9} \right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла и табличными интегралами.

$ \int (5 \sin 2x - 3 \cos \frac{x}{2}) dx = \int 5 \sin 2x \, dx - \int 3 \cos \frac{x}{2} \, dx = 5 \int \sin 2x \, dx - 3 \int \cos \frac{x}{2} \, dx $

Используем формулы для интегрирования тригонометрических функций $ \int \sin(kx) \, dx = -\frac{1}{k} \cos(kx) + C $ и $ \int \cos(kx) \, dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C $.

Для первого слагаемого, где $ k=2 $:$ 5 \int \sin 2x \, dx = 5 \cdot \left(-\frac{1}{2} \cos 2x\right) = -\frac{5}{2} \cos 2x $.

Для второго слагаемого, где $ k=\frac{1}{2} $:$ -3 \int \cos \frac{x}{2} \, dx = -3 \cdot \left(\frac{1}{1/2} \sin \frac{x}{2}\right) = -3 \cdot \left(2 \sin \frac{x}{2}\right) = -6 \sin \frac{x}{2} $.

Собрав все вместе и добавив произвольную постоянную интегрирования $ C $, получаем:

$ -\frac{5}{2} \cos 2x - 6 \sin \frac{x}{2} + C $

Ответ: $ -\frac{5}{2} \cos 2x - 6 \sin \frac{x}{2} + C $

б) Разделим интеграл на два, используя свойство линейности:

$ \int \left(\frac{5}{x+1} - e^{5x-1}\right) dx = \int \frac{5}{x+1} dx - \int e^{5x-1} dx = 5 \int \frac{1}{x+1} dx - \int e^{5x-1} dx $

Используем табличные интегралы $ \int \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a} \ln|ax+b| + C $ и $ \int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C $.

Первый интеграл (здесь $ a=1, b=1 $):$ 5 \int \frac{1}{x+1} dx = 5 \ln|x+1| $.

Второй интеграл (здесь $ a=5, b=-1 $):$ \int e^{5x-1} dx = \frac{1}{5} e^{5x-1} $.

Объединяя результаты и добавляя константу $ C $, получаем:

$ 5 \ln|x+1| - \frac{1}{5} e^{5x-1} + C $

Ответ: $ 5 \ln|x+1| - \frac{1}{5} e^{5x-1} + C $

в) Используем свойство линейности интеграла:

$ \int \left(\frac{3}{\sin^2(x+1)} + \frac{7}{\cos^2(x-1)}\right) dx = 3 \int \frac{dx}{\sin^2(x+1)} + 7 \int \frac{dx}{\cos^2(x-1)} $

Применяем табличные интегралы $ \int \frac{dx}{\sin^2(ax+b)} = -\frac{1}{a} \cot(ax+b) + C $ и $ \int \frac{dx}{\cos^2(ax+b)} = \frac{1}{a} \tan(ax+b) + C $.

Для первого слагаемого (здесь $ a=1, b=1 $):$ 3 \int \frac{dx}{\sin^2(x+1)} = 3(-\cot(x+1)) = -3 \cot(x+1) $.

Для второго слагаемого (здесь $ a=1, b=-1 $):$ 7 \int \frac{dx}{\cos^2(x-1)} = 7(\tan(x-1)) = 7 \tan(x-1) $.

Складывая результаты и добавляя константу интегрирования $ C $, получаем:

$ -3 \cot(x+1) + 7 \tan(x-1) + C $

Ответ: $ -3 \cot(x+1) + 7 \tan(x-1) + C $

г) Сначала упростим подынтегральное выражение.

Заметим, что выражение под первым корнем является формулой куба суммы, а под вторым корнем — формулой квадрата разности:

$ x^3+3x^2+3x+1 = (x+1)^3 $

$ x^2-6x+9 = (x-3)^2 $

Тогда подынтегральное выражение можно переписать в виде:

$ \sqrt{(x+1)^3} - \sqrt[3]{(x-3)^2} = (x+1)^{3/2} - (x-3)^{2/3} $

Обратим внимание, что для существования выражения $ (x+1)^{3/2} $ необходимо, чтобы $ x+1 \ge 0 $, то есть $ x \ge -1 $.

Теперь интегрируем, используя свойство линейности и формулу степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int \left((x+1)^{3/2} - (x-3)^{2/3}\right) dx = \int (x+1)^{3/2} dx - \int (x-3)^{2/3} dx $

Первый интеграл:$ \int (x+1)^{3/2} dx = \frac{(x+1)^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{(x+1)^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} $.

Второй интеграл:$ \int (x-3)^{2/3} dx = \frac{(x-3)^{2/3+1}}{2/3+1} = \frac{(x-3)^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}(x-3)^{5/3} $.

Собирая всё вместе и добавляя константу интегрирования $ C $, получаем итоговый результат:

$ \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{3}{5}(x-3)^{5/3} + C $

Ответ: $ \frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{3}{5}(x-3)^{5/3} + C $