Номер 6.14, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.14, страница 172.

Условие.

6.14 a) $\int (5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) dx;$

б) $\int (10x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3x - 7) dx;$

в) $\int (3 \sin x + 4 \cos x - 5\sqrt{x}) dx;$

г) $\int \left(\frac{1}{\sqrt{x}} - 5e^x + 3 \cdot 2^x\right) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для нахождения данного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл суммы/разности равен сумме/разности интегралов) и таблицей интегралов.

$\int (5x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 2x + 1) dx = \int 5x^4 dx - \int 4x^3 dx + \int 3x^2 dx - \int 2x dx + \int 1 dx$

Выносим постоянные множители за знак интеграла:

$= 5\int x^4 dx - 4\int x^3 dx + 3\int x^2 dx - 2\int x dx + \int dx$

Теперь применяем формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ к каждому слагаемому:

$= 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} - 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + x + C$

$= 5 \cdot \frac{x^5}{5} - 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C$

После сокращения дробей получаем окончательный результат. Не забываем добавить константу интегрирования $C$.

$= x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + C$

Ответ: $x^5 - x^4 + x^3 - x^2 + x + C$

б) Решаем аналогично предыдущему пункту, используя свойство линейности и табличные интегралы.

$\int (10x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3x - 7) dx = 10\int x^4 dx + 5\int x^3 dx - 2\int x^2 dx + 3\int x dx - 7\int dx$

Используем формулу $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$= 10 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 5 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - 2 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 3 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 7x + C$

$= 10 \cdot \frac{x^5}{5} + 5 \cdot \frac{x^4}{4} - 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C$

Упрощаем выражение:

$= 2x^5 + \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 7x + C$

Ответ: $2x^5 + \frac{5}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 7x + C$

в) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы для тригонометрических и степенных функций.

Сначала представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$:

$\int (3 \sin x + 4 \cos x - 5\sqrt{x}) dx = \int (3 \sin x + 4 \cos x - 5x^{1/2}) dx$

Разбиваем на сумму интегралов и выносим константы:

$= 3\int \sin x dx + 4\int \cos x dx - 5\int x^{1/2} dx$

Используем табличные интегралы: $\int \sin x dx = -\cos x + C$, $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$= 3(-\cos x) + 4(\sin x) - 5 \cdot \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C$

$= -3\cos x + 4\sin x - 5 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$

Упрощаем последнее слагаемое. Деление на дробь $\frac{3}{2}$ эквивалентно умножению на $\frac{2}{3}$. Также можно представить $x^{3/2}$ как $x\sqrt{x}$.

$= -3\cos x + 4\sin x - 5 \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} + C = 4\sin x - 3\cos x - \frac{10}{3}x\sqrt{x} + C$

Ответ: $4\sin x - 3\cos x - \frac{10}{3}x\sqrt{x} + C$

г) В данном интеграле используются степенная, показательная и экспоненциальная функции.

Представим $\frac{1}{\sqrt{x}}$ как $x^{-1/2}$:

$\int (\frac{1}{\sqrt{x}} - 5e^x + 3 \cdot 2^x) dx = \int (x^{-1/2} - 5e^x + 3 \cdot 2^x) dx$

Разбиваем на сумму интегралов и выносим константы:

$= \int x^{-1/2} dx - 5\int e^x dx + 3\int 2^x dx$

Используем табличные интегралы: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $\int e^x dx = e^x + C$ и $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$.

$= \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} - 5e^x + 3 \cdot \frac{2^x}{\ln 2} + C$

$= \frac{x^{1/2}}{1/2} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C$

Упрощаем первое слагаемое и получаем конечный результат:

$= 2x^{1/2} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C = 2\sqrt{x} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C$

Ответ: $2\sqrt{x} - 5e^x + \frac{3 \cdot 2^x}{\ln 2} + C$