Номер 6.17, страница 172 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.17, страница 172.

Условие.

6.17* a) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}};$

б) $\int \frac{dx}{1+x^2};$

В) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-2x^2}};$

Г) $\int \frac{dx}{1+3x^2};$

Д) $\int \frac{dx}{\sqrt{1-(3x+1)^2}};$

е) $\int \frac{dx}{1+(4x-1)^2};$

Ж) $\int \frac{dx}{\sqrt{4x-4x^2}};$

З) $\int \frac{dx}{4x^2+12x+10}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Данный интеграл является табличным: $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin(x) + C$.
Ответ: $\arcsin(x) + C$

б) Данный интеграл является табличным: $\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan(x) + C$.
Ответ: $\arctan(x) + C$

в) Приведем интеграл к табличному виду $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin(\frac{u}{a}) + C$.
$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 2x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{1 - (\sqrt{2}x)^2}}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2}x$, тогда $dt = \sqrt{2}dx$, откуда $dx = \frac{dt}{\sqrt{2}}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(\sqrt{2}x) + C$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}\arcsin(\sqrt{2}x) + C$

г) Приведем интеграл к табличному виду $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a}\arctan(\frac{u}{a}) + C$.
$\int \frac{dx}{1 + 3x^2} = \int \frac{dx}{1 + (\sqrt{3}x)^2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{3}x$, тогда $dt = \sqrt{3}dx$, откуда $dx = \frac{dt}{\sqrt{3}}$.
$\int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \int \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}x) + C$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan(\sqrt{3}x) + C$

д) Интеграл вида $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - (3x + 1)^2}}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3x + 1$, тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{3}\arcsin(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{3}\arcsin(3x + 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{3}\arcsin(3x + 1) + C$

е) Интеграл вида $\int \frac{dx}{1 + (4x - 1)^2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4x - 1$, тогда $dt = 4dx$, откуда $dx = \frac{dt}{4}$.
$\int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{1}{4}\arctan(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{4}\arctan(4x - 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{4}\arctan(4x - 1) + C$

ж) Преобразуем выражение под корнем, выделив полный квадрат:
$4x - 4x^2 = -(4x^2 - 4x) = -( (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 - 1^2 ) = -( (2x - 1)^2 - 1 ) = 1 - (2x - 1)^2$.
Интеграл принимает вид: $\int \frac{dx}{\sqrt{1 - (2x - 1)^2}}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x - 1$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.
$\int \frac{1}{\sqrt{1 - t^2}} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \frac{1}{2}\arcsin(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{2}\arcsin(2x - 1) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2}\arcsin(2x - 1) + C$

з) Преобразуем знаменатель, выделив полный квадрат:
$4x^2 + 12x + 10 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 10 = (2x + 3)^2 - 9 + 10 = (2x + 3)^2 + 1$.
Интеграл принимает вид: $\int \frac{dx}{1 + (2x + 3)^2}$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2x + 3$, тогда $dt = 2dx$, откуда $dx = \frac{dt}{2}$.
$\int \frac{1}{1 + t^2} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int \frac{dt}{1 + t^2} = \frac{1}{2}\arctan(t) + C$.
Возвращаемся к исходной переменной:
$\frac{1}{2}\arctan(2x + 3) + C$.
Ответ: $\frac{1}{2}\arctan(2x + 3) + C$