Номер 6.22, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.22, страница 175.

Условие.

6.22 а) $\int \frac{4xdx}{1+x^2}$;

б) $\int \frac{2xdx}{1+4x^2}$;

в) $\int \frac{xdx}{1+9x^2}$;

г) $\int \frac{xdx}{4+x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Для вычисления интеграла $\int \frac{4x dx}{1 + x^2}$ применим метод замены переменной. Этот метод удобен, так как в числителе находится выражение $x dx$, которое является, с точностью до константы, производной от $x^2$ в знаменателе.
Введем новую переменную $t$. Пусть $t = 1 + x^2$.
Найдем дифференциал $dt$. Для этого продифференцируем обе части равенства по $x$:
$dt = d(1 + x^2) = (1+x^2)' dx = 2x dx$.
Из этого соотношения можно выразить $4x dx$: $4x dx = 2 \cdot (2x dx) = 2 dt$.
Теперь подставим $t$ и $2 dt$ в исходный интеграл:
$\int \frac{4x dx}{1 + x^2} = \int \frac{2 dt}{t}$.
Вынесем константу за знак интеграла:
$2 \int \frac{dt}{t}$.
Интеграл от $\frac{1}{t}$ является табличным и равен натуральному логарифму модуля $t$:
$2 \ln|t| + C$, где $C$ — произвольная постоянная интегрирования.
Теперь выполним обратную замену, подставив вместо $t$ его выражение через $x$, то есть $t = 1 + x^2$:
$2 \ln|1 + x^2| + C$.
Поскольку выражение $1 + x^2$ всегда строго положительно для любого действительного $x$, знак модуля можно опустить.
Итоговый результат: $2 \ln(1 + x^2) + C$.
Ответ: $2 \ln(1 + x^2) + C$.

б) Решим интеграл $\int \frac{2x dx}{1 + 4x^2}$ методом замены переменной.
Введем замену: $t = 1 + 4x^2$.
Найдем дифференциал $dt$:
$dt = d(1 + 4x^2) = (1+4x^2)' dx = 8x dx$.
Из этого равенства выразим $2x dx$: $2x dx = \frac{1}{4} \cdot (8x dx) = \frac{dt}{4}$.
Подставим новую переменную в интеграл:
$\int \frac{2x dx}{1 + 4x^2} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{4}$.
Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t}$.
Интеграл от $\frac{1}{t}$ — это табличный интеграл:
$\frac{1}{4} \ln|t| + C$.
Выполним обратную замену $t = 1 + 4x^2$:
$\frac{1}{4} \ln|1 + 4x^2| + C$.
Так как $1 + 4x^2 > 0$ для всех $x$, модуль можно убрать.
Ответ: $\frac{1}{4} \ln(1 + 4x^2) + C$.

в) Вычислим интеграл $\int \frac{x dx}{1 + 9x^2}$, используя замену переменной.
Пусть $t = 1 + 9x^2$.
Тогда дифференциал $dt = d(1 + 9x^2) = (1+9x^2)' dx = 18x dx$.
Отсюда выразим $x dx$: $x dx = \frac{dt}{18}$.
Подставим в интеграл:
$\int \frac{x dx}{1 + 9x^2} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{18}$.
Выносим константу:
$\frac{1}{18} \int \frac{dt}{t}$.
Интегрируем:
$\frac{1}{18} \ln|t| + C$.
Делаем обратную замену $t = 1 + 9x^2$:
$\frac{1}{18} \ln|1 + 9x^2| + C$.
Выражение $1 + 9x^2$ всегда положительно, поэтому модуль можно опустить.
Ответ: $\frac{1}{18} \ln(1 + 9x^2) + C$.

г) Найдем интеграл $\int \frac{x dx}{4 + x^2}$ с помощью метода замены переменной.
Введем переменную $t = 4 + x^2$.
Найдем ее дифференциал: $dt = d(4 + x^2) = (4+x^2)' dx = 2x dx$.
Выразим из этого равенства $x dx$: $x dx = \frac{dt}{2}$.
Подставим полученные выражения в исходный интеграл:
$\int \frac{x dx}{4 + x^2} = \int \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{2}$.
Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:
$\frac{1}{2} \int \frac{dt}{t}$.
Этот интеграл является табличным:
$\frac{1}{2} \ln|t| + C$.
Произведем обратную замену $t = 4 + x^2$:
$\frac{1}{2} \ln|4 + x^2| + C$.
Поскольку $4 + x^2$ всегда положительно, знак модуля можно убрать.
Ответ: $\frac{1}{2} \ln(4 + x^2) + C$.