Номер 6.26, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.26, страница 177.

Условие.

6.26 a) Что называют криволинейной трапецией?

б) Что такое интегральная сумма?

в) Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Что называют криволинейной трапецией?

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью абсцисс (осью Ox), двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, и графиком непрерывной функции $y=f(x)$, которая на отрезке $[a, b]$ является неотрицательной (т.е. $f(x) \geq 0$). Основаниями этой фигуры служат отрезок $[a, b]$ на оси Ox и кривая, являющаяся графиком функции $y=f(x)$, а боковыми сторонами — отрезки прямых $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная отрезком $[a, b]$ оси Ox, отрезками прямых $x=a$ и $x=b$, и графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $[a,b]$ функции $y=f(x)$.

б) Что такое интегральная сумма?

Интегральная сумма для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ представляет собой сумму площадей прямоугольников, которая аппроксимирует площадь под графиком функции. Для её построения выполняются следующие шаги:
1. Отрезок $[a, b]$ разбивается на $n$ малых (элементарных) отрезков $[x_{i-1}, x_i]$ точками $a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b$. Длина каждого такого отрезка обозначается как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.
2. На каждом элементарном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ выбирается произвольная точка $\xi_i$.
3. Вычисляется значение функции в этой точке, $f(\xi_i)$, которое принимается за высоту прямоугольника с основанием $\Delta x_i$.
Интегральная сумма — это сумма площадей всех таких прямоугольников. Она определяется формулой:
$S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = f(\xi_1)\Delta x_1 + f(\xi_2)\Delta x_2 + \dots + f(\xi_n)\Delta x_n$.

Ответ: Интегральная сумма для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ — это сумма вида $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$, где отрезок $[a, b]$ разбит на $n$ частичных отрезков длиной $\Delta x_i$, а $\xi_i$ — произвольная точка на $i$-ом частичном отрезке.

в) Как вычисляют площадь криволинейной трапеции с помощью интегральных сумм?

Площадь криволинейной трапеции вычисляется как предел, к которому стремятся интегральные суммы при бесконечном измельчении разбиения отрезка $[a, b]$. Интегральная сумма $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i$ дает приближенное значение площади. Для получения точного значения площади необходимо, чтобы длина наибольшего из элементарных отрезков разбиения стремилась к нулю.
Этот предел, если он существует и не зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек $\xi_i$, и является точным значением площади $S$ криволинейной трапеции. По определению, этот предел называется определённым интегралом функции $f(x)$ от $a$ до $b$.
Таким образом, площадь вычисляется по формуле:
$S = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \,dx$.

Ответ: Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляют как предел интегральных сумм при условии, что длина наибольшего элементарного отрезка разбиения $(\max \Delta x_i)$ стремится к нулю. Этот предел равен определённому интегралу: $S = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i = \int_a^b f(x) \,dx$.