Номер 6.28, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.28, страница 177.

Условие.

6.28 Рассмотрим функцию $y = -x$. Разделим отрезок $[0; 1]$ на $n$ равных частей и в качестве интегральной суммы возьмём

$S_n = f(0) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + f\left(\frac{2}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} + \dots + f\left(\frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} =$

$\left(0 + \frac{-1}{n} + \frac{-2}{n} + \dots + \frac{-(n-1)}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = - \left(\underbrace{0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \dots + \frac{n-1}{n}}_{n \text{ слагаемых}}\right) \cdot \frac{1}{n}$

а) Чем отличаются интегральные суммы в заданиях 6.27 и 6.28?

б) Чему равен предел интегральной суммы в задании 6.28?

в) Чему равна площадь фигуры, ограниченной прямыми $y = -x$, $y=0$, $x = 1$ (рис. 146)?

Рис. 146

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для ответа на этот вопрос необходимо сделать предположение о содержании задания 6.27, так как оно не предоставлено. Судя по виду записи интегральной суммы $S_n$ в задании 6.28, где отрицательный знак вынесен за скобки, можно предположить, что в задании 6.27 рассматривалась функция $g(x)=x$ на том же отрезке $[0; 1]$ и с тем же выбором точек (левые концы подынтервалов).

Интегральная сумма для функции $g(x) = x$ (предположительно, задание 6.27) выглядела бы так:

$S_{n, g} = g(0)\cdot\frac{1}{n} + g\left(\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} + \ldots + g\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} = \left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$

Интегральная сумма для функции $f(x) = -x$ из задания 6.28:

$S_{n, f} = f(0)\cdot\frac{1}{n} + f\left(\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} + \ldots + f\left(\frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n} = \left(0 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n} - \ldots - \frac{n-1}{n}\right)\cdot\frac{1}{n}$

Сравнивая два выражения, видим, что $S_{n, f} = - S_{n, g}$.

Таким образом, интегральные суммы отличаются знаком. Это происходит потому, что функции $y=x$ и $y=-x$ симметричны относительно оси абсцисс.

Ответ: При предположении, что в задании 6.27 рассматривалась функция $y=x$, интегральные суммы отличаются знаком. Сумма в задании 6.28 является противоположной по знаку сумме из задания 6.27.

б) Найдём предел интегральной суммы $S_n$ из задания 6.28 при $n \to \infty$.

$S_n = \left(0 - \frac{1}{n} - \frac{2}{n} - \ldots - \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n} = -\left(0 + \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \ldots + \frac{n-1}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{n}$ из скобок, чтобы упростить выражение:

$S_n = -\frac{1}{n^2} \left(0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1)\right)$

Сумма в скобках — это сумма членов арифметической прогрессии от 0 до $n-1$. Воспользуемся формулой суммы первых $k$ натуральных чисел, которая также верна для суммы от 0 до $k-1$: $\sum_{i=0}^{k-1} i = \frac{(k-1)k}{2}$. В нашем случае $k=n$.

$\sum_{i=0}^{n-1} i = \frac{(n-1)n}{2}$

Подставим это значение в выражение для $S_n$:

$S_n = -\frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n-1)}{2} = -\frac{n-1}{2n}$

Теперь найдем предел этого выражения при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{n-1}{2n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{n(1-1/n)}{2n}\right) = \lim_{n \to \infty} \left(-\frac{1-1/n}{2}\right) = -\frac{1-0}{2} = -\frac{1}{2}$

Этот предел по определению является определённым интегралом $\int_0^1 (-x)dx$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$

в) Фигура, ограниченная прямыми $y=-x$, $y=0$ (ось Ox) и $x=1$, представляет собой прямоугольный треугольник, расположенный в четвертой координатной четверти.

Вершины этого треугольника находятся в точках пересечения данных прямых:

• Пересечение $y=-x$ и $y=0$: $-x=0 \implies x=0$. Точка (0, 0).
• Пересечение $y=0$ и $x=1$: Точка (1, 0).
• Пересечение $y=-x$ и $x=1$: $y=-1$. Точка (1, -1).

Таким образом, вершины треугольника: O(0, 0), A(1, 0), B(1, -1).

Катеты этого прямоугольного треугольника лежат на оси Ox и прямой $x=1$.

Длина горизонтального катета (основания) равна расстоянию между точками (0, 0) и (1, 0), то есть $1-0=1$.

Длина вертикального катета (высоты) равна расстоянию между точками (1, 0) и (1, -1), то есть $|0 - (-1)| = 1$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Стоит отметить, что площадь фигуры равна значению определённого интеграла от модуля функции: $S = \int_0^1 |-x| dx = \int_0^1 x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$. Это значение является модулем предела интегральной суммы, найденного в пункте б).

Ответ: $\frac{1}{2}$