Номер 6.32, страница 181 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.32, страница 181.

Условие.

Пользуясь геометрическим смыслом определённого интеграла, вычислите (6.32—6.36):

6.32 а) $\int_0^2 x dx;$

б) $\int_0^2 (-x) dx;$

в) $\int_{-4}^0 x dx;$

г) $\int_0^4 x dx;$

д) $\int_1^3 (1-x) dx;$

е) $\int_{-1}^1 (2x + 2) dx.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Геометрически определенный интеграл $\int_0^2 x \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной графиком функции $y=x$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$. Эта фигура представляет собой прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, 2)$. Катеты этого треугольника равны 2 и 2. Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$.
$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Поскольку на отрезке $[0, 2]$ функция $y=x$ неотрицательна ($x \ge 0$), значение интеграла равно площади этой фигуры.
Ответ: 2.

б) Интеграл $\int_0^2 (-x) \,dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=-x$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=2$. Фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(0, 0)$, $(2, 0)$ и $(2, -2)$. Катеты этого треугольника равны 2 и 2. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
На отрезке $[0, 2]$ функция $y=-x$ неположительна ($y \le 0$), поэтому график расположен ниже оси абсцисс. Значение определенного интеграла в этом случае равно площади соответствующей фигуры, взятой со знаком минус.
$\int_0^2 (-x) \,dx = -S = -2$.
Ответ: -2.

в) Интеграл $\int_{-4}^0 x \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной графиком $y=x$, осью $Ox$ и прямыми $x=-4$ и $x=0$. Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(-4, 0)$, $(0, 0)$ и $(-4, -4)$. Катеты этого треугольника равны 4 и 4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.
На отрезке $[-4, 0]$ функция $y=x$ неположительна ($y \le 0$), так как $x \le 0$. Следовательно, график функции находится ниже оси $Ox$, и значение интеграла равно площади со знаком минус.
$\int_{-4}^0 x \,dx = -S = -8$.
Ответ: -8.

г) Геометрически интеграл $\int_0^4 x \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной линиями $y=x$, $y=0$, $x=0$, $x=4$. Эта фигура — прямоугольный треугольник с вершинами в точках $(0, 0)$, $(4, 0)$ и $(4, 4)$. Длины катетов равны 4 и 4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$.
На отрезке $[0, 4]$ функция $y=x$ неотрицательна ($y \ge 0$), поэтому значение интеграла равно площади.
Ответ: 8.

д) Интеграл $\int_1^3 (1-x) \,dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком $y=1-x$, осью $Ox$ и прямыми $x=1$ и $x=3$. На отрезке $[1, 3]$ функция $y=1-x$ принимает неположительные значения (при $x=1, y=0$; при $x=3, y=-2$). Фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(1, 0)$, $(3, 0)$ и $(3, -2)$. Катеты этого треугольника равны $3-1=2$ и $|-2|=2$. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$.
Поскольку график функции на данном отрезке лежит ниже оси $Ox$, значение интеграла отрицательно.
$\int_1^3 (1-x) \,dx = -S = -2$.
Ответ: -2.

е) Интеграл $\int_{-1}^1 (2x+2) \,dx$ равен площади фигуры, ограниченной линиями $y=2x+2$, $y=0$, $x=-1$ и $x=1$. Найдем значения функции на концах отрезка интегрирования: при $x=-1$, $y = 2(-1) + 2 = 0$; при $x=1$, $y = 2(1) + 2 = 4$. Поскольку при $x=-1$ значение функции равно 0, фигура является прямоугольным треугольником с вершинами в точках $(-1, 0)$, $(1, 0)$ и $(1, 4)$. Катеты треугольника равны $1 - (-1) = 2$ и 4. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$.
На отрезке $[-1, 1]$ функция $y=2x+2$ неотрицательна ($y \ge 0$), так как ее корень $x=-1$ является левой границей отрезка. Поэтому значение интеграла равно площади этой фигуры.
Ответ: 4.