Номер 6.38, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Тип: Учебник

Серия: мгу - школе

Издательство: Просвещение

Год издания: 2014 - 2025

Уровень обучения: базовый и углублённый

Цвет обложки: голубой в сеточку

ISBN: 978-5-09-087641-4

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

Популярные ГДЗ в 11 классе

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.38, страница 184.

№6.38 (с. 184)
Условие. №6.38 (с. 184)
скриншот условия
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 184, номер 6.38, Условие

6.38 В чём заключается метод приближённого вычисления определённого интеграла?

Решение 1. №6.38 (с. 184)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 184, номер 6.38, Решение 1
Решение 2. №6.38 (с. 184)
Алгебра, 11 класс Учебник, авторы: Никольский Сергей Михайлович, Потапов Михаил Константинович, Решетников Николай Николаевич, Шевкин Александр Владимирович, издательство Просвещение, Москва, 2014, голубого цвета, страница 184, номер 6.38, Решение 2
Решение 4. №6.38 (с. 184)

Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене задачи нахождения площади криволинейной трапеции (которая геометрически представляет интеграл $\int_a^b f(x) \, dx$) на более простую задачу вычисления суммы площадей элементарных геометрических фигур. Этими фигурами аппроксимируется (приближается) исходная криволинейная трапеция.

Общий алгоритм действий следующий:

  1. Отрезок интегрирования $[a, b]$ разбивается на $n$ малых, как правило, равных подынтервалов точками $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$, где $x_0 = a$ и $x_n = b$. Длина каждого такого подынтервала (шаг интегрирования) равна $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
  2. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ подынтегральная функция $f(x)$ заменяется более простой (аппроксимирующей) функцией. Чаще всего используются многочлены нулевой степени (константы) или первой степени (линейные функции).
  3. Вычисляется площадь фигуры под графиком этой простой функции на каждом подынтервале.
  4. Полученные площади суммируются, и эта сумма принимается за приближённое значение интеграла. Точность приближения, как правило, тем выше, чем больше число подынтервалов $n$.

Наиболее распространёнными являются следующие методы.

Метод прямоугольников

На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ криволинейная трапеция заменяется прямоугольником с основанием $\Delta x$ и высотой, равной значению функции $f(x)$ в некоторой характерной точке этого подынтервала. В зависимости от выбора этой точки различают:

  • Метод левых прямоугольников: высота равна значению функции в левой точке подынтервала, $f(x_{i-1})$.

    Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \Delta x (f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1}))$.

  • Метод правых прямоугольников: высота равна значению функции в правой точке подынтервала, $f(x_i)$.

    Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \Delta x (f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n))$.

  • Метод средних прямоугольников: высота равна значению функции в средней точке подынтервала, $f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$. Этот метод часто даёт более точный результат.

    Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) \Delta x$.

Метод трапеций

Этот метод, как правило, точнее метода прямоугольников. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ дуга кривой $y=f(x)$ заменяется хордой, соединяющей точки $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$. В результате криволинейная трапеция заменяется обычной прямоугольной трапецией с основаниями $f(x_{i-1})$ и $f(x_i)$ и высотой $\Delta x$.

Площадь одной такой трапеции равна $\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x$. Суммируя площади всех трапеций, получаем общую формулу:

$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x = \frac{\Delta x}{2} (f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n))$.

Метод парабол (формула Симпсона)

Это ещё более точный метод. Здесь отрезок $[a, b]$ разбивается на чётное число $n$ подынтервалов. На каждой паре смежных подынтервалов, например $[x_{i-2}, x_i]$, дуга кривой $y=f(x)$ аппроксимируется параболой (многочленом второй степени), проходящей через три точки: $(x_{i-2}, f(x_{i-2}))$, $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$.

Вычисление площади под параболой и суммирование по всем парам подынтервалов приводит к формуле Симпсона:

$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$.

Характерной чертой формулы является чередование коэффициентов: 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1.

Применение этих методов особенно важно в случаях, когда первообразную функции $f(x)$ невозможно выразить через элементарные функции (например, для интеграла $\int e^{-x^2} dx$) или когда подынтегральная функция задана не аналитически, а в виде таблицы значений, полученных в ходе эксперимента.

Ответ: Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене подынтегральной функции на каждом из малых отрезков разбиения более простой функцией (например, константой, линейной функцией или параболой) и последующем суммировании площадей полученных простых фигур (прямоугольников, трапеций и т.д.) для получения численной оценки значения интеграла.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.38 расположенного на странице 184 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.38 (с. 184), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.