Номер 6.38, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.38, страница 184.
№6.38 (с. 184)
Условие. №6.38 (с. 184)
скриншот условия

6.38 В чём заключается метод приближённого вычисления определённого интеграла?
Решение 1. №6.38 (с. 184)

Решение 2. №6.38 (с. 184)

Решение 4. №6.38 (с. 184)
Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене задачи нахождения площади криволинейной трапеции (которая геометрически представляет интеграл $\int_a^b f(x) \, dx$) на более простую задачу вычисления суммы площадей элементарных геометрических фигур. Этими фигурами аппроксимируется (приближается) исходная криволинейная трапеция.
Общий алгоритм действий следующий:
- Отрезок интегрирования $[a, b]$ разбивается на $n$ малых, как правило, равных подынтервалов точками $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$, где $x_0 = a$ и $x_n = b$. Длина каждого такого подынтервала (шаг интегрирования) равна $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
- На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ подынтегральная функция $f(x)$ заменяется более простой (аппроксимирующей) функцией. Чаще всего используются многочлены нулевой степени (константы) или первой степени (линейные функции).
- Вычисляется площадь фигуры под графиком этой простой функции на каждом подынтервале.
- Полученные площади суммируются, и эта сумма принимается за приближённое значение интеграла. Точность приближения, как правило, тем выше, чем больше число подынтервалов $n$.
Наиболее распространёнными являются следующие методы.
Метод прямоугольниковНа каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ криволинейная трапеция заменяется прямоугольником с основанием $\Delta x$ и высотой, равной значению функции $f(x)$ в некоторой характерной точке этого подынтервала. В зависимости от выбора этой точки различают:
- Метод левых прямоугольников: высота равна значению функции в левой точке подынтервала, $f(x_{i-1})$.
Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \Delta x (f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1}))$.
- Метод правых прямоугольников: высота равна значению функции в правой точке подынтервала, $f(x_i)$.
Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \Delta x (f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n))$.
- Метод средних прямоугольников: высота равна значению функции в средней точке подынтервала, $f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$. Этот метод часто даёт более точный результат.
Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) \Delta x$.
Этот метод, как правило, точнее метода прямоугольников. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ дуга кривой $y=f(x)$ заменяется хордой, соединяющей точки $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$. В результате криволинейная трапеция заменяется обычной прямоугольной трапецией с основаниями $f(x_{i-1})$ и $f(x_i)$ и высотой $\Delta x$.
Площадь одной такой трапеции равна $\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x$. Суммируя площади всех трапеций, получаем общую формулу:
$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x = \frac{\Delta x}{2} (f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n))$.
Метод парабол (формула Симпсона)Это ещё более точный метод. Здесь отрезок $[a, b]$ разбивается на чётное число $n$ подынтервалов. На каждой паре смежных подынтервалов, например $[x_{i-2}, x_i]$, дуга кривой $y=f(x)$ аппроксимируется параболой (многочленом второй степени), проходящей через три точки: $(x_{i-2}, f(x_{i-2}))$, $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$.
Вычисление площади под параболой и суммирование по всем парам подынтервалов приводит к формуле Симпсона:
$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$.
Характерной чертой формулы является чередование коэффициентов: 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1.
Применение этих методов особенно важно в случаях, когда первообразную функции $f(x)$ невозможно выразить через элементарные функции (например, для интеграла $\int e^{-x^2} dx$) или когда подынтегральная функция задана не аналитически, а в виде таблицы значений, полученных в ходе эксперимента.
Ответ: Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене подынтегральной функции на каждом из малых отрезков разбиения более простой функцией (например, константой, линейной функцией или параболой) и последующем суммировании площадей полученных простых фигур (прямоугольников, трапеций и т.д.) для получения численной оценки значения интеграла.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 6.38 расположенного на странице 184 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №6.38 (с. 184), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.