Номер 6.38, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.38, страница 184.

Условие.

6.38 В чём заключается метод приближённого вычисления определённого интеграла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене задачи нахождения площади криволинейной трапеции (которая геометрически представляет интеграл $\int_a^b f(x) \, dx$) на более простую задачу вычисления суммы площадей элементарных геометрических фигур. Этими фигурами аппроксимируется (приближается) исходная криволинейная трапеция.

Общий алгоритм действий следующий:

1. Отрезок интегрирования $[a, b]$ разбивается на $n$ малых, как правило, равных подынтервалов точками $x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$, где $x_0 = a$ и $x_n = b$. Длина каждого такого подынтервала (шаг интегрирования) равна $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
2. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ подынтегральная функция $f(x)$ заменяется более простой (аппроксимирующей) функцией. Чаще всего используются многочлены нулевой степени (константы) или первой степени (линейные функции).
3. Вычисляется площадь фигуры под графиком этой простой функции на каждом подынтервале.
4. Полученные площади суммируются, и эта сумма принимается за приближённое значение интеграла. Точность приближения, как правило, тем выше, чем больше число подынтервалов $n$.

Наиболее распространёнными являются следующие методы.

Метод прямоугольников

На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ криволинейная трапеция заменяется прямоугольником с основанием $\Delta x$ и высотой, равной значению функции $f(x)$ в некоторой характерной точке этого подынтервала. В зависимости от выбора этой точки различают:

• Метод левых прямоугольников: высота равна значению функции в левой точке подынтервала, $f(x_{i-1})$.

  Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_{i-1}) \Delta x = \Delta x (f(x_0) + f(x_1) + \ldots + f(x_{n-1}))$.

• Метод правых прямоугольников: высота равна значению функции в правой точке подынтервала, $f(x_i)$.

  Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \Delta x (f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n))$.

• Метод средних прямоугольников: высота равна значению функции в средней точке подынтервала, $f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)$. Этот метод часто даёт более точный результат.

  Формула: $\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right) \Delta x$.

Метод трапеций

Этот метод, как правило, точнее метода прямоугольников. На каждом подынтервале $[x_{i-1}, x_i]$ дуга кривой $y=f(x)$ заменяется хордой, соединяющей точки $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$. В результате криволинейная трапеция заменяется обычной прямоугольной трапецией с основаниями $f(x_{i-1})$ и $f(x_i)$ и высотой $\Delta x$.

Площадь одной такой трапеции равна $\frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x$. Суммируя площади всех трапеций, получаем общую формулу:

$\int_a^b f(x) \, dx \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{f(x_{i-1}) + f(x_i)}{2} \Delta x = \frac{\Delta x}{2} (f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + \ldots + 2f(x_{n-1}) + f(x_n))$.

Метод парабол (формула Симпсона)

Это ещё более точный метод. Здесь отрезок $[a, b]$ разбивается на чётное число $n$ подынтервалов. На каждой паре смежных подынтервалов, например $[x_{i-2}, x_i]$, дуга кривой $y=f(x)$ аппроксимируется параболой (многочленом второй степени), проходящей через три точки: $(x_{i-2}, f(x_{i-2}))$, $(x_{i-1}, f(x_{i-1}))$ и $(x_i, f(x_i))$.

Вычисление площади под параболой и суммирование по всем парам подынтервалов приводит к формуле Симпсона:

$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)]$.

Характерной чертой формулы является чередование коэффициентов: 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1.

Применение этих методов особенно важно в случаях, когда первообразную функции $f(x)$ невозможно выразить через элементарные функции (например, для интеграла $\int e^{-x^2} dx$) или когда подынтегральная функция задана не аналитически, а в виде таблицы значений, полученных в ходе эксперимента.

Ответ: Метод приближённого вычисления определённого интеграла заключается в замене подынтегральной функции на каждом из малых отрезков разбиения более простой функцией (например, константой, линейной функцией или параболой) и последующем суммировании площадей полученных простых фигур (прямоугольников, трапеций и т.д.) для получения численной оценки значения интеграла.