Номер 6.37, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.37, страница 184.

Условие.

6.37 Что называют:

а) нижней интегральной суммой;

б) верхней интегральной суммой?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) нижней интегральной суммой;

Пусть функция $f(x)$ определена и ограничена на отрезке $[a, b]$. Рассмотрим разбиение $T$ этого отрезка на $n$ частичных отрезков точками $a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_n = b$. Длину каждого частичного отрезка $[x_{i-1}, x_i]$ обозначим как $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$.

Так как функция $f(x)$ ограничена на всем отрезке $[a, b]$, она ограничена и на каждом его частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$. На каждом таком отрезке найдем точную нижнюю грань (инфимум) значений функции. Обозначим это значение как $m_i$: $m_i = \inf_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$.

Сумма произведений наименьших значений функции $m_i$ на длины соответствующих частичных отрезков $\Delta x_i$ называется нижней интегральной суммой (или нижней суммой Дарбу) для функции $f(x)$ и заданного разбиения $T$.

Формула для вычисления нижней интегральной суммы $s_T$: $s_T = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i = m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 + \dots + m_n \Delta x_n$.

Геометрически нижняя интегральная сумма — это площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, которые "вписаны" под график функции $y=f(x)$. Основанием каждого такого прямоугольника является частичный отрезок $[x_{i-1}, x_i]$, а высотой — наименьшее значение функции на этом отрезке ($m_i$). Эта площадь дает оценку снизу для площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$.

Ответ: Нижней интегральной суммой для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ при заданном разбиении $T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ называется сумма $s_T = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$, где $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ — это длина $i$-го частичного отрезка, а $m_i$ — это точная нижняя грань (инфимум) значений функции $f(x)$ на этом отрезке.

б) верхней интегральной суммой?

Используем те же начальные условия: функция $f(x)$ определена и ограничена на отрезке $[a, b]$, который разбит на частичные отрезки $[x_{i-1}, x_i]$ точками разбиения $T$.

На каждом частичном отрезке $[x_{i-1}, x_i]$ найдем точную верхнюю грань (супремум) значений функции. Обозначим это значение как $M_i$: $M_i = \sup_{x \in [x_{i-1}, x_i]} f(x)$.

Сумма произведений наибольших значений функции $M_i$ на длины соответствующих частичных отрезков $\Delta x_i$ называется верхней интегральной суммой (или верхней суммой Дарбу) для функции $f(x)$ и заданного разбиения $T$.

Формула для вычисления верхней интегральной суммы $S_T$: $S_T = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i = M_1 \Delta x_1 + M_2 \Delta x_2 + \dots + M_n \Delta x_n$.

Геометрически верхняя интегральная сумма — это площадь ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, которые "описаны" около графика функции $y=f(x)$. Основанием каждого прямоугольника также является частичный отрезок $[x_{i-1}, x_i]$, но его высота равна наибольшему значению функции на этом отрезке ($M_i$). Эта площадь дает оценку сверху для площади той же криволинейной трапеции.

Ответ: Верхней интегральной суммой для функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ при заданном разбиении $T = \{x_0, x_1, \dots, x_n\}$ называется сумма $S_T = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i$, где $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$ — это длина $i$-го частичного отрезка, а $M_i$ — это точная верхняя грань (супремум) значений функции $f(x)$ на этом отрезке.