Номер 6.44, страница 184 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.44, страница 184.

Условие.

6.44 Почему в предыдущем задании все определённые интегралы равны нулю?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Все определённые интегралы в предыдущем задании равны нулю, поскольку в каждом из них выполняется свойство интеграла от нечетной функции по симметричному промежутку.

Данное свойство утверждает, что интеграл от любой нечетной функции $f(x)$ по симметричному относительно нуля промежутку вида $[-a, a]$ всегда равен нулю.$$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 0 $$Напомним, что функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График такой функции симметричен относительно начала координат. Промежуток интегрирования вида $[-a, a]$ называется симметричным.

Это свойство можно доказать математически. Интеграл разбивается на два:$$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = \int_{-a}^{0} f(x) \,dx + \int_{0}^{a} f(x) \,dx $$В первом интеграле $\int_{-a}^{0} f(x) \,dx$ выполняется замена переменной $t = -x$. Отсюда $x = -t$ и $dx = -dt$. Пределы интегрирования меняются: если $x = -a$, то $t = a$; если $x = 0$, то $t = 0$.$$ \int_{-a}^{0} f(x) \,dx = \int_{a}^{0} f(-t)(-dt) $$Используя определение нечетной функции $f(-t) = -f(t)$, получаем:$$ \int_{a}^{0} -f(t)(-dt) = \int_{a}^{0} f(t) \,dt $$По свойству определенного интеграла $\int_{a}^{b} g(t) \,dt = -\int_{b}^{a} g(t) \,dt$, меняем пределы местами:$$ \int_{a}^{0} f(t) \,dt = -\int_{0}^{a} f(t) \,dt $$Подставляя результат в исходное разложение и учитывая, что переменная интегрирования является формальной ($t$ можно заменить на $x$), имеем:$$ \int_{-a}^{a} f(x) \,dx = -\int_{0}^{a} f(x) \,dx + \int_{0}^{a} f(x) \,dx = 0 $$

Геометрический смысл этого свойства заключается в том, что определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей. Для нечетной функции ее график на симметричном промежутке $[-a, a]$ состоит из двух частей, равных по площади, но расположенных по разные стороны от оси абсцисс. Например, площадь на отрезке $[-a, 0]$ будет отрицательной, а на отрезке $[0, a]$ — положительной (или наоборот). При суммировании эти площади взаимно компенсируют друг друга, и итоговый результат равен нулю.

Следовательно, все подынтегральные функции в предыдущем задании были нечетными (например, $\sin(x)$, $x^3$, $x \cos(x)$ и т.п.), а промежутки интегрирования — симметричными (например, $[-\pi, \pi]$, $[-1, 1]$ и т.п.).

Ответ: Все определённые интегралы в предыдущем задании равны нулю, потому что они вычислялись для нечетных функций на симметричных промежутках интегрирования вида $[-a, a]$. Интеграл от любой нечетной функции по такому промежутку всегда равен нулю, так как положительная и отрицательная площади, ограниченные графиком функции и осью абсцисс, взаимно компенсируются.