Номер 6.51, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.51, страница 189.

6.51 a) $\int_1^2 \frac{dx}{x}$;

б) $\int_2^3 \frac{dx}{x}$;

в) $\int_1^3 \frac{dx}{x}$.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для функции $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является натуральный логарифм $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу, подставив пределы интегрирования:
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln|2| - \ln|1|$.
Поскольку пределы интегрирования (1 и 2) являются положительными числами, знаки модуля можно опустить. Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем:
$\ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.
Ответ: $\ln(2)$.

б) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x}$ используем ту же первообразную $F(x) = \ln|x|$ и формулу Ньютона-Лейбница.
$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{2}^{3} = \ln|3| - \ln|2|$.
Так как пределы 2 и 3 положительны, знаки модуля опускаем. Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, можем упростить выражение:
$\ln(3) - \ln(2) = \ln(\frac{3}{2})$.
Ответ: $\ln(\frac{3}{2})$.

в) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x}$.
Аналогично предыдущим пунктам, применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = \ln|x|$.
$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{3} = \ln|3| - \ln|1|$.
Поскольку $\ln(1) = 0$, результат равен:
$\ln(3) - 0 = \ln(3)$.
Заметим, что данный результат согласуется со свойством аддитивности интеграла, так как $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{2} \frac{dx}{x} + \int_{2}^{3} \frac{dx}{x}$. Подставив результаты из пунктов а) и б), получаем: $\ln(2) + \ln(\frac{3}{2}) = \ln(2 \cdot \frac{3}{2}) = \ln(3)$.
Ответ: $\ln(3)$.