Номер 6.53, страница 190 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.53, страница 190.

6.53 a) $y = x^2$, $x = 3$, $x = 5$, $y = 0$;

б) $y = x^3$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$;

В) $y = \frac{1}{x}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$.

а) Для нахождения площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется определенный интеграл. В данном случае фигура ограничена линиями $y = x^2$, $x = 3$, $x = 5$ и $y = 0$. Так как функция $f(x)=x^2$ неотрицательна на отрезке $[3, 5]$, площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = \int_{3}^{5} x^2 \,dx$

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. По правилу интегрирования степенной функции, первообразная $F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$ для вычисления определенного интеграла:

$S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{5} = \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{125}{3} - \frac{27}{3} = \frac{125 - 27}{3} = \frac{98}{3}$

Таким образом, искомая площадь равна $\frac{98}{3}$ или $32 \frac{2}{3}$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{98}{3}$

б) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3$, $x=1$, $x=2$ и $y=0$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $f(x) = x^3$ является неотрицательной на отрезке $[1, 2]$, поэтому площадь $S$ равна:

$S = \int_{1}^{2} x^3 \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = x^3$ является функция $F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

Искомая площадь равна $\frac{15}{4}$ или $3.75$ квадратных единиц.

Ответ: $\frac{15}{4}$

в) Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $x=1$, $x=4$ и $y=0$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Функция $f(x) = \frac{1}{x}$ неотрицательна на отрезке $[1, 4]$.

Вычисляем площадь $S$ по формуле:

$S = \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \,dx$

Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является $F(x) = \ln|x|$. Так как на отрезке $[1, 4]$ значение $x$ положительно, можно использовать $F(x) = \ln(x)$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ \ln(x) \right]_{1}^{4} = \ln(4) - \ln(1)$

Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем:

$S = \ln(4)$

Искомая площадь равна $\ln(4)$ квадратных единиц.

Ответ: $\ln(4)$