Номер 6.52, страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.52, страница 189.

Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.52—6.58):

6.52 а) $y = x^2, x = 0, x = 2, y = 0;$

б) $y = \sin x, x = 0, x = \pi, y = 0;$

в) $y = \cos x, x = 0, x = \frac{\pi}{2}, y = 0.$

а) Фигура ограничена графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=2$. Поскольку функция $y=x^2$ неотрицательна на отрезке $[0, 2]$, площадь этой фигуры (криволинейной трапеции) можно вычислить с помощью определенного интеграла. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_0^2 x^2 \,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$ (кв. ед.).

Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=\pi$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна. Следовательно, площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_0^{\pi} \sin x \,dx = \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$ (кв. ед.).

Ответ: $2$.

в) Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Площадь фигуры равна:

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = \left. \sin x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ (кв. ед.).

Ответ: $1$.