Страница 189 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.45° Сформулируйте теорему Ньютона—Лейбница.

Теорема Ньютона—Лейбница, также известная как основная теорема математического анализа, устанавливает связь между двумя центральными понятиями анализа — определенным интегралом и первообразной. Она является ключевым инструментом для вычисления определенных интегралов.

Формулировка теоремы

Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, а функция $F(x)$ является какой-либо первообразной для $f(x)$ на этом отрезке (то есть для любого $x$ из $[a, b]$ выполняется равенство $F'(x) = f(x)$), то определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке от $a$ до $b$ равен разности значений первообразной на концах этого отрезка:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$

Эту разность также принято обозначать с помощью вертикальной черты: $\left. F(x) \right|_{a}^{b}$. Таким образом, формулу можно записать и так:

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \left. F(x) \right|_{a}^{b} = F(b) - F(a)$

Суть теоремы заключается в том, что для вычисления интеграла, который геометрически представляет собой площадь под графиком функции, не нужно прибегать к сложным процедурам суммирования бесконечно малых площадей (через интегральные суммы). Вместо этого достаточно найти первообразную подынтегральной функции $f(x)$ и затем вычислить разность значений этой первообразной в точках $b$ и $a$.

Ответ: Если функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$ и $F(x)$ является любой ее первообразной на этом отрезке, то определенный интеграл от $f(x)$ по отрезку $[a, b]$ равен разности значений первообразной $F(x)$ на концах отрезка, то есть: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$.

Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите определённый интеграл (6.46–6.51):

6.46 a) $\int_0^1 x dx;$

б) $\int_2^4 x dx;$

в) $\int_3^7 x dx.$

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} x\,dx$ используется формула Ньютона—Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.
В данном случае $f(x) = x$. Первообразная для этой функции находится по формуле $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. Для $n=1$ получаем $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Теперь применим формулу Ньютона—Лейбница с пределами интегрирования $a=0$ и $b=1$:
$\int_{0}^{1} x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} x\,dx$.
Первообразная для функции $f(x) = x$ остаётся той же: $F(x) = \frac{x^2}{2}$.
Подставим пределы интегрирования $a=2$ и $b=4$ в формулу Ньютона—Лейбница:
$\int_{2}^{4} x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{2}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{4}{2} = 8 - 2 = 6$.
Ответ: 6

в) Вычислим интеграл $\int_{3}^{7} x\,dx$.
Используем ту же первообразную $F(x) = \frac{x^2}{2}$ и пределы интегрирования $a=3$ и $b=7$.
Применяем формулу Ньютона—Лейбница:
$\int_{3}^{7} x\,dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{3}^{7} = \frac{7^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{49}{2} - \frac{9}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
Ответ: 20

6.47 a) $\int_0^1 x^2 dx;$

б) $\int_{-1}^1 x^2 dx;$

В) $\int_{-1}^2 x^2 dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} x^2 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = x^2$. Используя формулу для интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $a=0$ до $b=1$:

$\int_{0}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} x^2 dx$.

Первообразная для функции $f(x) = x^2$ нам уже известна: $F(x) = \frac{x^3}{3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $a=-1$ до $b=1$:

$\int_{-1}^{1} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{1} = F(1) - F(-1) = \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Замечание: так как подынтегральная функция $f(x) = x^2$ является четной (т.е. $f(-x) = f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно было воспользоваться свойством $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$. Тогда $\int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx = 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$, что совпадает с полученным результатом.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{2} x^2 dx$.

Используем ту же первообразную $F(x) = \frac{x^3}{3}$ и формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от $a=-1$ до $b=2$:

$\int_{-1}^{2} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-1}^{2} = F(2) - F(-1) = \frac{2^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} = \frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$.

Ответ: 3.

6.48 а) $\int_0^1 x^3 dx;$

б) $\int_{-1}^1 x^3 dx;$

в) $\int_2^3 x^3 dx.$

а)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1} x^3 dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^3$. По формуле для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$ в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{0}^{1} = F(1) - F(0) = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$.

б)

Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1} x^3 dx$. Первообразная та же: $F(x) = \frac{x^4}{4}$. Пределы интегрирования $a=-1$ и $b=1$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-1}^{1} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{-1}^{1} = F(1) - F(-1) = \frac{1^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

Также можно заметить, что подынтегральная функция $f(x) = x^3$ является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку $[-a, a]$ всегда равен нулю.

Ответ: $0$.

в)

Вычислим интеграл $\int_{2}^{3} x^3 dx$. Используем ту же первообразную $F(x) = \frac{x^4}{4}$ и пределы интегрирования $a=2$ и $b=3$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{2}^{3} x^3 dx = \left. \frac{x^4}{4} \right|_{2}^{3} = F(3) - F(2) = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{81 - 16}{4} = \frac{65}{4}$.

Результат можно представить в виде десятичной дроби $16.25$ или смешанного числа $16\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{65}{4}$.

6.49 a) $\int_{0}^{\pi} \sin x dx;$

б) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

в) $\int_{0}^{2\pi} \sin x dx.$

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Первообразной для функции $f(x) = \sin x$ является $F(x) = -\cos x$.

Подставляем пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \sin x$ является нечетной, так как $\sin(-x) = -\sin x$. Интеграл от нечетной функции по симметричному относительно нуля промежутку, каким является $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, всегда равен нулю. Проверим это прямым вычислением по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \,dx = [-\cos x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos(-\frac{\pi}{2}))$.

Учитывая, что косинус — четная функция ($\cos(-x) = \cos x$) и $\cos(\frac{\pi}{2})=0$, получаем:

$(-\cos \frac{\pi}{2}) - (-\cos \frac{\pi}{2}) = -0 - (-0) = 0$.

Ответ: 0

в) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx$.

Используем первообразную $F(x) = -\cos x$ и формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{2\pi} \sin x \,dx = [-\cos x]_{0}^{2\pi} = (-\cos(2\pi)) - (-\cos 0)$.

Так как $2\pi$ является периодом для функции косинус, $\cos(2\pi) = \cos 0 = 1$. Следовательно:

$(-1) - (-1) = -1 + 1 = 0$.

Геометрически это означает, что интеграл вычисляется за полный период функции синус. Площадь "положительной" полуволны на $[0, \pi]$ полностью компенсируется площадью "отрицательной" полуволны на $[\pi, 2\pi]$.

Ответ: 0

6.50 a) $ \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx; $

б) $ \int_0^{\pi} \cos x \, dx; $

в) $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx. $

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \cos x$ является функция $F(x) = \sin x$.
Таким образом, имеем:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$.
Ответ: 1.

б) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\pi} \cos x \,dx$, используя ту же первообразную $F(x) = \sin x$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\int_{0}^{\pi} \cos x \,dx = [\sin x]_{0}^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0$.
Ответ: 0.

в) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = \sin x$ и пределами интегрирования от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)$.
Так как функция синус является нечетной, $\sin(-x) = -\sin(x)$, то $\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1$.
Следовательно, результат равен: $1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
Также можно было заметить, что $\cos x$ - четная функция, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля. В этом случае $\int_{-a}^{a} f(x) \,dx = 2\int_{0}^{a} f(x) \,dx$.
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = 2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2.

6.51 a) $\int_1^2 \frac{dx}{x}$;

б) $\int_2^3 \frac{dx}{x}$;

в) $\int_1^3 \frac{dx}{x}$.

а) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{2} \frac{dx}{x}$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ – первообразная для функции $f(x)$.
Первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{x}$ является натуральный логарифм $F(x) = \ln|x|$.
Применим формулу, подставив пределы интегрирования:
$\int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{2} = \ln|2| - \ln|1|$.
Поскольку пределы интегрирования (1 и 2) являются положительными числами, знаки модуля можно опустить. Учитывая, что $\ln(1) = 0$, получаем:
$\ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2)$.
Ответ: $\ln(2)$.

б) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{3} \frac{dx}{x}$ используем ту же первообразную $F(x) = \ln|x|$ и формулу Ньютона-Лейбница.
$\int_{2}^{3} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{2}^{3} = \ln|3| - \ln|2|$.
Так как пределы 2 и 3 положительны, знаки модуля опускаем. Используя свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$, можем упростить выражение:
$\ln(3) - \ln(2) = \ln(\frac{3}{2})$.
Ответ: $\ln(\frac{3}{2})$.

в) Вычислим интеграл $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x}$.
Аналогично предыдущим пунктам, применяем формулу Ньютона-Лейбница с первообразной $F(x) = \ln|x|$.
$\int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = [\ln|x|]_{1}^{3} = \ln|3| - \ln|1|$.
Поскольку $\ln(1) = 0$, результат равен:
$\ln(3) - 0 = \ln(3)$.
Заметим, что данный результат согласуется со свойством аддитивности интеграла, так как $\int_{1}^{3} \frac{dx}{x} = \int_{1}^{2} \frac{dx}{x} + \int_{2}^{3} \frac{dx}{x}$. Подставив результаты из пунктов а) и б), получаем: $\ln(2) + \ln(\frac{3}{2}) = \ln(2 \cdot \frac{3}{2}) = \ln(3)$.
Ответ: $\ln(3)$.

Используя формулу Ньютона—Лейбница, вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями (6.52—6.58):

6.52 а) $y = x^2, x = 0, x = 2, y = 0;$

б) $y = \sin x, x = 0, x = \pi, y = 0;$

в) $y = \cos x, x = 0, x = \frac{\pi}{2}, y = 0.$

а) Фигура ограничена графиком функции $y = x^2$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=2$. Поскольку функция $y=x^2$ неотрицательна на отрезке $[0, 2]$, площадь этой фигуры (криволинейной трапеции) можно вычислить с помощью определенного интеграла. По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_0^2 x^2 \,dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^2 = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3}$ (кв. ед.).

Ответ: $\frac{8}{3}$.

б) Фигура ограничена графиком функции $y = \sin x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=\pi$. На отрезке $[0, \pi]$ функция $y = \sin x$ неотрицательна. Следовательно, площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл:

$S = \int_0^{\pi} \sin x \,dx = \left. (-\cos x) \right|_0^{\pi} = (-\cos \pi) - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$ (кв. ед.).

Ответ: $2$.

в) Фигура ограничена графиком функции $y = \cos x$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=0$ и $x=\frac{\pi}{2}$. На отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $y = \cos x$ неотрицательна. Площадь фигуры равна:

$S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x \,dx = \left. \sin x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$ (кв. ед.).

Ответ: $1$.