Страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

6.72 a) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией $y = 4 + 0.5x^2$, касательной к ней $y = 2x + 2$ и прямыми $x = 0$ и $x = 3$.

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией $y = 8 - 0.5x^2$, касательной к ней $y = 2x + 10$ и прямыми $x = 0$ и $x = -3$.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти определенный интеграл от разности функций, которые ограничивают фигуру сверху и снизу.

Данные линии:

• Парабола: $y_1 = 4 + 0,5x^2$
• Касательная: $y_2 = 2x + 2$
• Вертикальные прямые: $x = 0$ и $x = 3$

Сначала найдем точку касания, чтобы убедиться, что прямая действительно является касательной к параболе. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке.

Производная функции параболы: $y_1' = (4 + 0,5x^2)' = x$.

Угловой коэффициент прямой $y_2 = 2x + 2$ равен 2.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания: $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 2$ в уравнение параболы: $y_1(2) = 4 + 0,5(2)^2 = 4 + 0,5 \cdot 4 = 4 + 2 = 6$.

Проверим, лежит ли точка $(2, 6)$ на прямой $y_2 = 2x + 2$: $y_2(2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$.

Точка $(2, 6)$ является точкой касания.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$. В нашем случае $a=0, b=3$. Нам нужно сравнить функции $y_1$ и $y_2$ на отрезке $[0, 3]$. Рассмотрим разность $y_1 - y_2$:

$(4 + 0,5x^2) - (2x + 2) = 0,5x^2 - 2x + 2 = 0,5(x^2 - 4x + 4) = 0,5(x-2)^2$.

Так как $(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y_1 - y_2 \ge 0$. Это значит, что парабола $y_1$ на всем промежутке лежит не ниже касательной $y_2$.

Вычисляем площадь как определенный интеграл: $S = \int_{0}^{3} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{3} (0,5x^2 - 2x + 2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (0,5x^2 - 2x + 2) dx = 0,5 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{6} - 3^2 + 2 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{6} - 0^2 + 2 \cdot 0\right)$ $S = \left(\frac{27}{6} - 9 + 6\right) - 0 = \frac{9}{2} - 3 = 4,5 - 3 = 1,5$.

Ответ: 1,5.

б)

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями:

• Парабола: $y_1 = 8 - 0,5x^2$
• Касательная: $y_2 = 2x + 10$
• Вертикальные прямые: $x = -3$ и $x = 0$

Найдем точку касания. Производная функции параболы: $y_1' = (8 - 0,5x^2)' = -x$.

Угловой коэффициент прямой $y_2 = 2x + 10$ равен 2.

Найдем абсциссу точки касания: $-x_0 = 2 \implies x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания: $y_1(-2) = 8 - 0,5(-2)^2 = 8 - 0,5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 6)$ на прямой $y_2 = 2x + 10$: $y_2(-2) = 2(-2) + 10 = -4 + 10 = 6$.

Точка $(-2, 6)$ является точкой касания.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$. В нашем случае пределы интегрирования от $a=-3$ до $b=0$. Сравним функции $y_1$ и $y_2$ на этом отрезке. Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:

$(2x + 10) - (8 - 0,5x^2) = 2x + 10 - 8 + 0,5x^2 = 0,5x^2 + 2x + 2 = 0,5(x^2 + 4x + 4) = 0,5(x+2)^2$.

Так как $(x+2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y_2 - y_1 \ge 0$. Это значит, что касательная $y_2$ на всем промежутке лежит не ниже параболы $y_1$.

Вычисляем площадь как определенный интеграл: $S = \int_{-3}^{0} (y_2 - y_1) dx = \int_{-3}^{0} (0,5x^2 + 2x + 2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (0,5x^2 + 2x + 2) dx = 0,5 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{6} + x^2 + 2x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(0) - F(-3) = \left(\frac{0^3}{6} + 0^2 + 2 \cdot 0\right) - \left(\frac{(-3)^3}{6} + (-3)^2 + 2 \cdot (-3)\right)$ $S = 0 - \left(\frac{-27}{6} + 9 - 6\right) = - \left(-\frac{9}{2} + 3\right) = -(-4,5 + 3) = -(-1,5) = 1,5$.

Ответ: 1,5.

6.73 Вычислите определённый интеграл, используя замену переменной:

а) $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x dx; $ б) $ \int_{0}^{\pi} \sin \frac{x}{3} dx; $ в) $ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx; $

г) $ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx; $ д) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{4 + x^2}; $ е) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}}. $

а) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) dx $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = 2x $. Тогда дифференциал $ dt = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = 0 $, то $ t = 2 \cdot 0 = 0 $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ t = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x) dx = \int_{0}^{\pi} \cos(t) \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos(t) dt = \frac{1}{2} [\sin(t)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}(\sin(\pi) - \sin(0)) = \frac{1}{2}(0 - 0) = 0 $.

Ответ: $0$.

б) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{\pi} \sin\frac{x}{3} dx $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \frac{x}{3} $. Тогда дифференциал $ dt = \frac{1}{3}dx $, откуда $ dx = 3dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = 0 $, то $ t = \frac{0}{3} = 0 $.

Если $ x = \pi $, то $ t = \frac{\pi}{3} $.

Подставим замену в интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} \sin\frac{x}{3} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(t) (3dt) = 3 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin(t) dt = 3 [-\cos(t)]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -3(\cos\frac{\pi}{3} - \cos 0) = -3(\frac{1}{2} - 1) = -3(-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

в) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx $.

Сделаем тригонометрическую замену. Пусть $ x = \sin(t) $. Поскольку $ x $ изменяется от $-1$ до $1$, мы можем выбрать $ t $, изменяющимся от $ -\frac{\pi}{2} $ до $ \frac{\pi}{2} $.

Дифференциал $ dx = \cos(t)dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = -1 $, то $ \sin(t) = -1 \implies t = -\frac{\pi}{2} $.

Если $ x = 1 $, то $ \sin(t) = 1 \implies t = \frac{\pi}{2} $.

Подставим замену в подынтегральное выражение: $ \sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \sqrt{\cos^2(t)} = |\cos(t)| $. На отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $ функция $ \cos(t) \ge 0 $, поэтому $ |\cos(t)| = \cos(t) $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - x^2} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(t) \cdot \cos(t) dt = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} $:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = \frac{1}{2} [t + \frac{1}{2}\sin(2t)]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(-\pi)) \right) = \frac{1}{2} \left( (\frac{\pi}{2} + 0) - (-\frac{\pi}{2} + 0) \right) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

г) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx $.

Сделаем тригонометрическую замену. Пусть $ x = 2\sin(t) $. Поскольку $ x $ изменяется от $0$ до $2$, мы можем выбрать $ t $, изменяющимся от $0$ до $ \frac{\pi}{2} $.

Дифференциал $ dx = 2\cos(t)dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = 0 $, то $ 2\sin(t) = 0 \implies t = 0 $.

Если $ x = 2 $, то $ 2\sin(t) = 2 \implies \sin(t) = 1 \implies t = \frac{\pi}{2} $.

Подставим замену в подынтегральное выражение: $ \sqrt{4 - x^2} = \sqrt{4 - (2\sin t)^2} = \sqrt{4(1 - \sin^2 t)} = \sqrt{4\cos^2 t} = 2|\cos t| $. На отрезке $ [0, \frac{\pi}{2}] $ функция $ \cos(t) \ge 0 $, поэтому $ 2|\cos t| = 2\cos t $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\cos(t) \cdot 2\cos(t) dt = 4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2(t) dt $.

Используем формулу понижения степени $ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2} $:

$ 4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(2t)}{2} dt = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(2t)) dt = 2 [t + \frac{1}{2}\sin(2t)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 2 \left( (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)) - (0 + \frac{1}{2}\sin(0)) \right) = 2 (\frac{\pi}{2} - 0) = \pi $.

Ответ: $ \pi $.

д) Вычислим интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{4 + x^2} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ x = 2\tan(t) $, тогда $ t = \arctan(\frac{x}{2}) $.

Дифференциал $ dx = \frac{2}{\cos^2(t)} dt = 2\sec^2(t) dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = -\frac{\pi}{2} $, то $ t = \arctan(\frac{-\pi/2}{2}) = \arctan(-\frac{\pi}{4}) $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ t = \arctan(\frac{\pi/2}{2}) = \arctan(\frac{\pi}{4}) $.

Подставим замену в интеграл. Знаменатель $ 4 + x^2 = 4 + (2\tan t)^2 = 4(1 + \tan^2 t) = 4\sec^2 t $.

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{4 + x^2} = \int_{\arctan(-\frac{\pi}{4})}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} \frac{2\sec^2(t) dt}{4\sec^2(t)} = \int_{\arctan(-\frac{\pi}{4})}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} \frac{1}{2} dt = \frac{1}{2} [t]_{\arctan(-\frac{\pi}{4})}^{\arctan(\frac{\pi}{4})} $.

Вычисляем значение: $ \frac{1}{2} (\arctan(\frac{\pi}{4}) - \arctan(-\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2} (\arctan(\frac{\pi}{4}) + \arctan(\frac{\pi}{4})) = \arctan(\frac{\pi}{4}) $.

Ответ: $ \arctan(\frac{\pi}{4}) $.

е) Вычислим интеграл $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} $.

Сделаем замену переменной. Пусть $ x = 3\sin(t) $, тогда $ t = \arcsin(\frac{x}{3}) $.

Дифференциал $ dx = 3\cos(t)dt $.

Найдем новые пределы интегрирования.

Если $ x = -\frac{\pi}{2} $, то $ \sin(t) = \frac{-\pi/2}{3} = -\frac{\pi}{6} $, следовательно $ t = \arcsin(-\frac{\pi}{6}) $.

Если $ x = \frac{\pi}{2} $, то $ \sin(t) = \frac{\pi/2}{3} = \frac{\pi}{6} $, следовательно $ t = \arcsin(\frac{\pi}{6}) $.

Подставим замену в подынтегральное выражение. Знаменатель $ \sqrt{9 - x^2} = \sqrt{9 - (3\sin t)^2} = \sqrt{9(1 - \sin^2 t)} = \sqrt{9\cos^2 t} = 3|\cos t| $. Так как $ t $ изменяется от $ \arcsin(-\frac{\pi}{6}) $ до $ \arcsin(\frac{\pi}{6}) $, что находится в интервале $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $, то $ \cos t > 0 $ и $ |\cos t| = \cos t $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \int_{\arcsin(-\frac{\pi}{6})}^{\arcsin(\frac{\pi}{6})} \frac{3\cos(t)dt}{3\cos(t)} = \int_{\arcsin(-\frac{\pi}{6})}^{\arcsin(\frac{\pi}{6})} 1 dt = [t]_{\arcsin(-\frac{\pi}{6})}^{\arcsin(\frac{\pi}{6})} $.

Вычисляем значение: $ \arcsin(\frac{\pi}{6}) - \arcsin(-\frac{\pi}{6}) = \arcsin(\frac{\pi}{6}) + \arcsin(\frac{\pi}{6}) = 2\arcsin(\frac{\pi}{6}) $.

Ответ: $ 2\arcsin(\frac{\pi}{6}) $.

6.74* Вычислите определённый интеграл:

a) $\int_{0}^{\pi} |\sin 2002x| dx;$

б) $\int_{-7}^{7} |||x| - 4| - 2| - 1| dx.$

а) Вычислим интеграл $I_a = \int_{0}^{\pi} |\sin(2002x)| dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = |\sin(2002x)|$ является периодической. Найдем ее период. Период функции $\sin(kx)$ равен $T_{sin} = \frac{2\pi}{k}$. В нашем случае $k = 2002$, поэтому $T_{sin} = \frac{2\pi}{2002} = \frac{\pi}{1001}$.

Функция $|\sin(kx)|$ имеет период в два раза меньше, чем $\sin(kx)$, так как отрицательные полуволны отражаются вверх. Таким образом, период функции $f(x)=|\sin(2002x)|$ равен $T = \frac{1}{2} T_{sin} = \frac{\pi}{2002}$.

Интегрирование производится на отрезке $[0, \pi]$. Длина этого отрезка равна $\pi$. Найдем, сколько полных периодов функции $f(x)$ укладывается на этом отрезке: $n = \frac{\pi}{T} = \frac{\pi}{\pi/2002} = 2002$.

Интеграл от периодической функции по интервалу, содержащему целое число периодов, равен произведению числа периодов на интеграл по одному периоду:

$\int_{0}^{nT} f(x) dx = n \int_{0}^{T} f(x) dx$.

Применим это свойство к нашему интегралу:

$I_a = \int_{0}^{\pi} |\sin(2002x)| dx = 2002 \int_{0}^{\pi/2002} |\sin(2002x)| dx$.

На отрезке $x \in [0, \pi/2002]$, аргумент синуса $2002x$ изменяется в пределах от $2002 \cdot 0 = 0$ до $2002 \cdot (\pi/2002) = \pi$. На интервале $[0, \pi]$ функция синус неотрицательна, то есть $\sin(u) \ge 0$ для $u \in [0, \pi]$. Следовательно, на отрезке $x \in [0, \pi/2002]$ имеем $\sin(2002x) \ge 0$, и модуль можно убрать: $|\sin(2002x)| = \sin(2002x)$.

Тогда интеграл становится:

$I_a = 2002 \int_{0}^{\pi/2002} \sin(2002x) dx$.

Вычислим этот интеграл:

$\int_{0}^{\pi/2002} \sin(2002x) dx = \left[-\frac{\cos(2002x)}{2002}\right]_{0}^{\pi/2002} = -\frac{1}{2002} \left[\cos(2002x)\right]_{0}^{\pi/2002}$

$= -\frac{1}{2002} \left(\cos\left(2002 \cdot \frac{\pi}{2002}\right) - \cos(2002 \cdot 0)\right) = -\frac{1}{2002} (\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{2002} (-1 - 1) = \frac{2}{2002}$.

Подставим полученное значение обратно:

$I_a = 2002 \cdot \frac{2}{2002} = 2$.

Ответ: 2.

б) Вычислим интеграл $I_б = \int_{-7}^{7} ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 | dx$.

Пусть подынтегральная функция $f(x) = ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 |$. Проверим ее на четность:

$f(-x) = ||| |-x| - 4 | - 2 | - 1 | = ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 | = f(x)$.

Так как функция $f(x)$ является четной, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем использовать свойство интеграла от четной функции:

$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$.

В нашем случае $a=7$, поэтому:

$I_б = 2 \int_{0}^{7} ||| |x| - 4 | - 2 | - 1 | dx$.

Для $x \ge 0$, имеем $|x| = x$. Таким образом, на отрезке $[0, 7]$ подынтегральная функция упрощается до $g(x) = ||| x - 4 | - 2 | - 1 |$. Нам нужно вычислить $2 \int_{0}^{7} g(x) dx$.

Для вычисления интеграла от функции с вложенными модулями, раскроем их последовательно, разбивая отрезок интегрирования $[0, 7]$ на части в точках, где выражения под модулем меняют знак.

Рассмотрим функцию $g(x)$ на отрезке $[0, 7]$. Точки, в которых аргументы модулей обращаются в ноль:

• $x-4=0 \Rightarrow x=4$.
• $|x-4|-2=0 \Rightarrow |x-4|=2 \Rightarrow x-4=2$ или $x-4=-2 \Rightarrow x=6$ или $x=2$.
• $||x-4|-2|-1=0 \Rightarrow ||x-4|-2|=1$.
  • $|x-4|-2=1 \Rightarrow |x-4|=3 \Rightarrow x-4=3$ или $x-4=-3 \Rightarrow x=7$ или $x=1$.
  • $|x-4|-2=-1 \Rightarrow |x-4|=1 \Rightarrow x-4=1$ или $x-4=-1 \Rightarrow x=5$ или $x=3$.

Критические точки на отрезке $[0, 7]$: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$. Разобьем интеграл по этим точкам:

$\int_{0}^{7} g(x)dx = \int_0^1 g(x)dx + \int_1^2 g(x)dx + \int_2^3 g(x)dx + \int_3^4 g(x)dx + \int_4^5 g(x)dx + \int_5^6 g(x)dx + \int_6^7 g(x)dx$.

Раскроем модули на каждом интервале:

• $[0, 1]$: $g(x) = |(4-x)-2|-1| = |2-x-1| = |1-x| = 1-x$.
• $[1, 2]$: $g(x) = |(4-x)-2|-1| = |2-x-1| = |1-x| = x-1$.
• $[2, 3]$: $g(x) = |-(x-2)-1| = |-x+2-1| = |-x+1| = |x-1|=x-1$. Ошибка. Давайте аккуратнее.
  $x \in [2,4] \Rightarrow |x-4| = 4-x$. $h(x) = |(4-x)-2| = |2-x|$.
  $x \in [2,4] \Rightarrow 2-x \le 0 \Rightarrow |2-x| = x-2$.
  $g(x) = |(x-2)-1| = |x-3|$.
  На $[2,3]$, $g(x)=|x-3|=3-x$.
• $[3, 4]$: $g(x) = |x-3| = x-3$.
• $[4, 5]$: $x \ge 4 \Rightarrow |x-4|=x-4$. $g(x)=||(x-4)-2|-1| = ||x-6|-1|$.
  На $[4,5]$, $|x-6|=6-x$. $g(x)=|(6-x)-1|=|5-x|=5-x$.
• $[5, 6]$: $g(x)=||x-6|-1|=|5-x|=x-5$.
• $[6, 7]$: $|x-6|=x-6$. $g(x)=|(x-6)-1|=|x-7|=7-x$.

Интеграл $\int_{0}^{7} g(x) dx$ представляет собой сумму площадей семи треугольников, каждый с основанием 1 и высотой 1.
Площадь одного такого треугольника равна $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$. Например, $\int_0^1 (1-x)dx = [x - \frac{x^2}{2}]_0^1 = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
Аналогично, $\int_1^2 (x-1)dx = [\frac{x^2}{2}-x]_1^2 = (2-2)-(\frac{1}{2}-1) = \frac{1}{2}$.
$\int_2^3 (3-x)dx = [3x-\frac{x^2}{2}]_2^3 = (9-\frac{9}{2})-(6-2) = \frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$.
И так далее для всех семи интервалов.

Общая площадь под графиком $g(x)$ на отрезке $[0, 7]$:

$\int_{0}^{7} g(x) dx = 7 \times \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Возвращаемся к исходному интегралу:

$I_б = 2 \int_{0}^{7} g(x) dx = 2 \cdot \frac{7}{2} = 7$.

Ответ: 7.