Номер 6.72, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.72, страница 196.

6.72 a) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией $y = 4 + 0.5x^2$, касательной к ней $y = 2x + 2$ и прямыми $x = 0$ и $x = 3$.

б) Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией $y = 8 - 0.5x^2$, касательной к ней $y = 2x + 10$ и прямыми $x = 0$ и $x = -3$.

а)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо найти определенный интеграл от разности функций, которые ограничивают фигуру сверху и снизу.

Данные линии:

• Парабола: $y_1 = 4 + 0,5x^2$
• Касательная: $y_2 = 2x + 2$
• Вертикальные прямые: $x = 0$ и $x = 3$

Сначала найдем точку касания, чтобы убедиться, что прямая действительно является касательной к параболе. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке.

Производная функции параболы: $y_1' = (4 + 0,5x^2)' = x$.

Угловой коэффициент прямой $y_2 = 2x + 2$ равен 2.

Приравниваем производную к угловому коэффициенту, чтобы найти абсциссу точки касания: $x_0 = 2$.

Найдем ординату точки касания, подставив $x_0 = 2$ в уравнение параболы: $y_1(2) = 4 + 0,5(2)^2 = 4 + 0,5 \cdot 4 = 4 + 2 = 6$.

Проверим, лежит ли точка $(2, 6)$ на прямой $y_2 = 2x + 2$: $y_2(2) = 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6$.

Точка $(2, 6)$ является точкой касания.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$. В нашем случае $a=0, b=3$. Нам нужно сравнить функции $y_1$ и $y_2$ на отрезке $[0, 3]$. Рассмотрим разность $y_1 - y_2$:

$(4 + 0,5x^2) - (2x + 2) = 0,5x^2 - 2x + 2 = 0,5(x^2 - 4x + 4) = 0,5(x-2)^2$.

Так как $(x-2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y_1 - y_2 \ge 0$. Это значит, что парабола $y_1$ на всем промежутке лежит не ниже касательной $y_2$.

Вычисляем площадь как определенный интеграл: $S = \int_{0}^{3} (y_1 - y_2) dx = \int_{0}^{3} (0,5x^2 - 2x + 2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (0,5x^2 - 2x + 2) dx = 0,5 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{6} - x^2 + 2x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(3) - F(0) = \left(\frac{3^3}{6} - 3^2 + 2 \cdot 3\right) - \left(\frac{0^3}{6} - 0^2 + 2 \cdot 0\right)$ $S = \left(\frac{27}{6} - 9 + 6\right) - 0 = \frac{9}{2} - 3 = 4,5 - 3 = 1,5$.

Ответ: 1,5.

б)

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями:

• Парабола: $y_1 = 8 - 0,5x^2$
• Касательная: $y_2 = 2x + 10$
• Вертикальные прямые: $x = -3$ и $x = 0$

Найдем точку касания. Производная функции параболы: $y_1' = (8 - 0,5x^2)' = -x$.

Угловой коэффициент прямой $y_2 = 2x + 10$ равен 2.

Найдем абсциссу точки касания: $-x_0 = 2 \implies x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания: $y_1(-2) = 8 - 0,5(-2)^2 = 8 - 0,5 \cdot 4 = 8 - 2 = 6$.

Проверим, лежит ли точка $(-2, 6)$ на прямой $y_2 = 2x + 10$: $y_2(-2) = 2(-2) + 10 = -4 + 10 = 6$.

Точка $(-2, 6)$ является точкой касания.

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$, где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$. В нашем случае пределы интегрирования от $a=-3$ до $b=0$. Сравним функции $y_1$ и $y_2$ на этом отрезке. Рассмотрим разность $y_2 - y_1$:

$(2x + 10) - (8 - 0,5x^2) = 2x + 10 - 8 + 0,5x^2 = 0,5x^2 + 2x + 2 = 0,5(x^2 + 4x + 4) = 0,5(x+2)^2$.

Так как $(x+2)^2 \ge 0$ для всех $x$, то $y_2 - y_1 \ge 0$. Это значит, что касательная $y_2$ на всем промежутке лежит не ниже параболы $y_1$.

Вычисляем площадь как определенный интеграл: $S = \int_{-3}^{0} (y_2 - y_1) dx = \int_{-3}^{0} (0,5x^2 + 2x + 2) dx$.

Найдем первообразную: $F(x) = \int (0,5x^2 + 2x + 2) dx = 0,5 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{6} + x^2 + 2x$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница: $S = F(0) - F(-3) = \left(\frac{0^3}{6} + 0^2 + 2 \cdot 0\right) - \left(\frac{(-3)^3}{6} + (-3)^2 + 2 \cdot (-3)\right)$ $S = 0 - \left(\frac{-27}{6} + 9 - 6\right) = - \left(-\frac{9}{2} + 3\right) = -(-4,5 + 3) = -(-1,5) = 1,5$.

Ответ: 1,5.