Номер 6.76, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 1. Функции. Производные. Интегралы. Параграф 6. Первообразная и интеграл - номер 6.76, страница 201.

Условие.

6.76 Какова формула для вычисления объёма тела вращения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Объём тела, которое образуется при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, вычисляется с помощью определённого интеграла. Основная идея заключается в том, чтобы мысленно "нарезать" тело на бесконечно тонкие диски (или кольца), перпендикулярные оси вращения, найти объём каждого такого элементарного диска и затем просуммировать эти объёмы с помощью интегрирования.

Существуют две основные формулы в зависимости от того, вокруг какой оси происходит вращение.

1. Вращение вокруг оси абсцисс (Ox)

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью Ox и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

При вращении этой фигуры вокруг оси Ox получается тело вращения. Объём этого тела вычисляется по методу дисков. Мысленно разрежем тело плоскостью, перпендикулярной оси Ox, в точке $x$. В сечении получится круг, радиус которого равен значению функции в этой точке, то есть $r = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi (f(x))^2$.

Чтобы найти объём всего тела, нужно проинтегрировать площади этих кругов по отрезку от $a$ до $b$.

Ответ: $V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$

2. Вращение вокруг оси ординат (Oy)

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$, осью Oy и горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$.

При вращении этой фигуры вокруг оси Oy также получается тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Oy, в точке $y$ представляет собой круг радиусом $r = g(y)$. Его площадь равна $S(y) = \pi r^2 = \pi (g(y))^2$.

Объём вычисляется путём интегрирования этих площадей по отрезку от $c$ до $d$.

Ответ: $V = \pi \int_c^d (g(y))^2 dy$

Дополнительный случай: вращение фигуры между двумя кривыми

Если фигура, вращающаяся вокруг оси Ox, ограничена сверху графиком функции $y = f_2(x)$, а снизу — графиком функции $y = f_1(x)$ (при условии $f_2(x) \ge f_1(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, то сечение тела вращения будет представлять собой кольцо.

Внешний радиус кольца равен $R = f_2(x)$, а внутренний — $r = f_1(x)$. Площадь кольца равна разности площадей большого и малого кругов: $S(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi((f_2(x))^2 - (f_1(x))^2)$.

Объём такого тела находится интегрированием площади кольца.

Ответ: $V = \pi \int_a^b \left( (f_2(x))^2 - (f_1(x))^2 \right) dx$