Номер 6.76, страница 201 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.76, страница 201.

6.76 Какова формула для вычисления объёма тела вращения?

Объём тела, которое образуется при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, вычисляется с помощью определённого интеграла. Основная идея заключается в том, чтобы мысленно "нарезать" тело на бесконечно тонкие диски (или кольца), перпендикулярные оси вращения, найти объём каждого такого элементарного диска и затем просуммировать эти объёмы с помощью интегрирования.

Существуют две основные формулы в зависимости от того, вокруг какой оси происходит вращение.

1. Вращение вокруг оси абсцисс (Ox)

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $y = f(x)$ на отрезке $[a, b]$, осью Ox и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

При вращении этой фигуры вокруг оси Ox получается тело вращения. Объём этого тела вычисляется по методу дисков. Мысленно разрежем тело плоскостью, перпендикулярной оси Ox, в точке $x$. В сечении получится круг, радиус которого равен значению функции в этой точке, то есть $r = f(x)$. Площадь этого круга $S(x) = \pi r^2 = \pi (f(x))^2$.

Чтобы найти объём всего тела, нужно проинтегрировать площади этих кругов по отрезку от $a$ до $b$.

Ответ: $V = \pi \int_a^b (f(x))^2 dx$

2. Вращение вокруг оси ординат (Oy)

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции $x = g(y)$ на отрезке $[c, d]$, осью Oy и горизонтальными прямыми $y=c$ и $y=d$.

При вращении этой фигуры вокруг оси Oy также получается тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Oy, в точке $y$ представляет собой круг радиусом $r = g(y)$. Его площадь равна $S(y) = \pi r^2 = \pi (g(y))^2$.

Объём вычисляется путём интегрирования этих площадей по отрезку от $c$ до $d$.

Ответ: $V = \pi \int_c^d (g(y))^2 dy$

Дополнительный случай: вращение фигуры между двумя кривыми

Если фигура, вращающаяся вокруг оси Ox, ограничена сверху графиком функции $y = f_2(x)$, а снизу — графиком функции $y = f_1(x)$ (при условии $f_2(x) \ge f_1(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, то сечение тела вращения будет представлять собой кольцо.

Внешний радиус кольца равен $R = f_2(x)$, а внутренний — $r = f_1(x)$. Площадь кольца равна разности площадей большого и малого кругов: $S(x) = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi((f_2(x))^2 - (f_1(x))^2)$.

Объём такого тела находится интегрированием площади кольца.

Ответ: $V = \pi \int_a^b \left( (f_2(x))^2 - (f_1(x))^2 \right) dx$