Номер 6.83, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.83, страница 206.

Покажите, что функция $y = y(x)$ является решением дифференциального уравнения, если (6.83–6.84):

6.83 а) $y' = x^3, y = \frac{1}{4}x^4 + 5;$ б) $y' = \sin x, y = -\cos x - 1;$

в) $y' = \cos x - 7, y = \sin x - 7x + 2;$

г) $y' = 3 \sin x + 4 \cos x + 7, y = -3 \cos x + 4 \sin x + 7x - 3.$

Укажите общее решение дифференциального уравнения.

а)

Дано дифференциальное уравнение $y' = x^3$ и функция $y = \frac{1}{4}x^4 + 5$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = \left(\frac{1}{4}x^4 + 5\right)' = \frac{1}{4}(x^4)' + (5)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} + 0 = x^3$.
Полученное выражение $y' = x^3$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = \frac{1}{4}x^4 + 5$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int x^3 \,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + C = \frac{x^4}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = \frac{1}{4}x^4 + C$.

б)

Дано дифференциальное уравнение $y' = \sin x$ и функция $y = -\cos x - 1$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = (-\cos x - 1)' = -(\cos x)' - (1)' = -(-\sin x) - 0 = \sin x$.
Полученное выражение $y' = \sin x$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = -\cos x - 1$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int \sin x \,dx = -\cos x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = -\cos x + C$.

в)

Дано дифференциальное уравнение $y' = \cos x - 7$ и функция $y = \sin x - 7x + 2$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = (\sin x - 7x + 2)' = (\sin x)' - (7x)' + (2)' = \cos x - 7 + 0 = \cos x - 7$.
Полученное выражение $y' = \cos x - 7$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = \sin x - 7x + 2$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int (\cos x - 7) \,dx = \int \cos x \,dx - \int 7 \,dx = \sin x - 7x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = \sin x - 7x + C$.

г)

Дано дифференциальное уравнение $y' = 3\sin x + 4\cos x + 7$ и функция $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x - 3$.
Чтобы проверить, является ли функция решением, найдем ее производную:
$y' = (-3\cos x + 4\sin x + 7x - 3)' = -3(\cos x)' + 4(\sin x)' + (7x)' - (3)' = -3(-\sin x) + 4(\cos x) + 7 - 0 = 3\sin x + 4\cos x + 7$.
Полученное выражение $y' = 3\sin x + 4\cos x + 7$ совпадает с правой частью исходного дифференциального уравнения. Следовательно, функция $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x - 3$ является его решением.
Общее решение дифференциального уравнения находим путем интегрирования правой части:
$y = \int (3\sin x + 4\cos x + 7) \,dx = 3\int \sin x \,dx + 4\int \cos x \,dx + \int 7 \,dx = 3(-\cos x) + 4(\sin x) + 7x + C = -3\cos x + 4\sin x + 7x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $y = -3\cos x + 4\sin x + 7x + C$.