Номер 6.87, страница 206 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.87, страница 206.

6.87* Для дифференциального уравнения $y'' + 4y = 0$ найдите решение, удовлетворяющее условиям:

a) $y(0) = 2, y'(0) = 3;$

б) $y(0) = 2, y'(0) = 0;$

в) $y(0) = 0, y'(0) = 3.$

Данное дифференциальное уравнение является линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его вид: $y'' + 4y = 0$.

Сначала найдем общее решение. Для этого составим и решим характеристическое уравнение:

$k^2 + 4 = 0$

$k^2 = -4$

$k = \pm\sqrt{-4} = \pm 2i$

Корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными: $k_{1,2} = \alpha \pm i\beta$, где $\alpha = 0$ и $\beta = 2$. Общее решение в этом случае имеет вид:

$y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$

Подставляя наши значения $\alpha$ и $\beta$, получаем общее решение дифференциального уравнения:

$y(x) = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)$

Для использования начальных условий для производной, найдем производную общего решения:

$y'(x) = -2C_1 \sin(2x) + 2C_2 \cos(2x)$

Теперь, используя заданные начальные условия, найдем значения констант $C_1$ и $C_2$ для каждого случая.

а) $y(0) = 2, y'(0) = 3$

Подставляем $x=0$ в общее решение и его производную, используя начальные условия:

$y(0) = C_1 \cos(2 \cdot 0) + C_2 \sin(2 \cdot 0) = C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = C_1 = 2$

$y'(0) = -2C_1 \sin(2 \cdot 0) + 2C_2 \cos(2 \cdot 0) = -2C_1 \cdot 0 + 2C_2 \cdot 1 = 2C_2 = 3$

Из полученной системы уравнений находим константы:

$C_1 = 2$

$C_2 = \frac{3}{2}$

Подставляем найденные значения констант в общее решение, чтобы получить частное решение:

$y(x) = 2 \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x)$

Ответ: $y(x) = 2 \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x)$.

б) $y(0) = 2, y'(0) = 0$

Подставляем $x=0$ в общее решение и его производную:

$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 2$

$y'(0) = -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = 2C_2 = 0$

Находим константы:

$C_1 = 2$

$C_2 = 0$

Частное решение в этом случае:

$y(x) = 2 \cos(2x) + 0 \cdot \sin(2x) = 2 \cos(2x)$

Ответ: $y(x) = 2 \cos(2x)$.

в) $y(0) = 0, y'(0) = 3$

Подставляем $x=0$ в общее решение и его производную:

$y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = C_1 = 0$

$y'(0) = -2C_1 \sin(0) + 2C_2 \cos(0) = 2C_2 = 3$

Находим константы:

$C_1 = 0$

$C_2 = \frac{3}{2}$

Частное решение в этом случае:

$y(x) = 0 \cdot \cos(2x) + \frac{3}{2} \sin(2x) = \frac{3}{2} \sin(2x)$

Ответ: $y(x) = \frac{3}{2} \sin(2x)$.