Номер 6.92, страница 211 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 6. Первообразная и интеграл. Глава 1. Функции. Производные. Интегралы - номер 6.92, страница 211.

6.92 В задаче 6.91 считать, что выстрел направлен вниз и ускорение земного притяжения равно $10 \text{ м/с}^2$, а скорость вылета пули из винтовки $800 \text{ м/с}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.

а) Через какое время пуля достигнет земли?

б) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Для решения задачи необходимо знать высоту, с которой производится выстрел. Эта информация, как правило, содержится в условии задачи 6.91, на которую ссылается данная задача. Чаще всего в таких задачах фигурирует высота Останкинской телебашни, которую для простоты расчетов принимают равной $h = 540$ м. Будем исходить из этого предположения.

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Направим ось OY вертикально вниз, а начало отсчета ($y=0$) поместим в точку выстрела. В этом случае начальная скорость пули и ускорение свободного падения будут иметь положительные проекции на ось OY.

Дано:
Начальная скорость пули $v_0 = 800$ м/с
Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с²
Высота (перемещение) $h = 540$ м

а) Через какое время пуля достигнет земли?

Движение пули является равноускоренным. Путь, пройденный пулей, описывается уравнением: $h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$

Подставим известные значения в уравнение: $540 = 800t + \frac{10t^2}{2}$

Получаем квадратное уравнение относительно времени $t$: $5t^2 + 800t - 540 = 0$

Для решения используем формулу корней квадратного уравнения $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=5$, $b=800$, $c=-540$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 800^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-540) = 640000 + 10800 = 650800$

Найдем корни уравнения: $t = \frac{-800 \pm \sqrt{650800}}{2 \cdot 5} = \frac{-800 \pm 806.72}{10}$

Физический смысл имеет только положительное значение времени, поэтому выбираем корень со знаком «плюс»: $t = \frac{-800 + 806.72}{10} = \frac{6.72}{10} \approx 0.67$ с

Ответ: Пуля достигнет земли примерно через $0.67$ с.

б) С какой скоростью пуля упадёт на землю?

Конечную скорость пули $v$ можно найти по формуле, не использующей время. Это удобно, так как позволяет избежать погрешности вычисления из пункта а). $v^2 = v_0^2 + 2gh$

Подставим значения: $v^2 = 800^2 + 2 \cdot 10 \cdot 540$ $v^2 = 640000 + 10800 = 650800$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти скорость: $v = \sqrt{650800} \approx 806.72$ м/с

Для проверки можно использовать и другую формулу, $v = v_0 + gt$, подставив время из пункта а): $v = 800 + 10 \cdot 0.67 = 800 + 6.7 = 806.7$ м/с. (Небольшое расхождение связано с округлением времени $t$).

Ответ: Пуля упадёт на землю со скоростью примерно $806.72$ м/с.