Номер 7.1, страница 218 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.1, страница 218.

7.1° a) Какие два уравнения называют равносильными?

б) Какие преобразования уравнения называют равносильными? Приведите примеры равносильных преобразований уравнения.

а) Два уравнения называют равносильными (или эквивалентными), если множества их корней совпадают. Это означает, что любой корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, любой корень второго уравнения является корнем первого. Также равносильными считаются два уравнения, которые не имеют корней.

Например, уравнения $x + 5 = 7$ и $3x = 6$ равносильны, так как оба имеют единственный корень $x=2$.

Уравнения $x^2 = -1$ и $\sqrt{x} = -3$ также равносильны, поскольку оба не имеют действительных корней.

Ответ: Два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые множества корней.

б) Равносильными преобразованиями уравнения называют такие преобразования, которые заменяют данное уравнение другим уравнением, равносильным исходному. Иными словами, это преобразования, которые не приводят к потере корней и не создают посторонних корней, то есть сохраняют множество решений уравнения неизменным.

Примеры равносильных преобразований уравнения:

1. Перенос слагаемого из одной части уравнения в другую с изменением его знака на противоположный.
Пример: Уравнение $5x - 4 = 2x + 5$ равносильно уравнению $5x - 2x = 5 + 4$.

2. Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля.
Пример: Уравнение $0.2x = 3$ равносильно уравнению $x = 15$ (обе части умножили на 5).

3. Применение тождественных преобразований (раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и т.п.) в одной или обеих частях уравнения, не изменяющих область допустимых значений (ОДЗ) уравнения.
Пример: Уравнение $(x+3)^2 - x^2 = 15$ после тождественного преобразования левой части $x^2+6x+9-x^2=15$ равносильно уравнению $6x+9=15$.

4. Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень.
Пример: Уравнение $\sqrt[5]{x} = 2$ равносильно уравнению $x = 2^5$, то есть $x=32$.

Ответ: Равносильными называют преобразования, которые не изменяют множество корней уравнения. Примерами являются перенос слагаемых, умножение или деление обеих частей на ненулевое число, тождественные преобразования выражений.