Номер 7.5, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.5, страница 219.

7.5 a) $ \sqrt[3]{x^3 + 3x - 15} = x; $

б) $ \sqrt[3]{x^3 - 3x - 4} = x; $

В) $ \sqrt[3]{x^3 - 3x - 1} = x - 1; $

Г) $ \sqrt[3]{x^3 - 3x + 1} = x + 1. $

а)

Дано иррациональное уравнение $\sqrt[3]{x^3 + 3x - 15} = x$.

Для его решения необходимо избавиться от кубического корня. Для этого возведем обе части уравнения в третью степень. Данное преобразование является равносильным, так как корень нечетной степени определен для любого действительного числа.

$(\sqrt[3]{x^3 + 3x - 15})^3 = x^3$

В левой части куб и кубический корень взаимно уничтожаются:

$x^3 + 3x - 15 = x^3$

Теперь вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$3x - 15 = 0$

Получили простое линейное уравнение. Перенесем $-15$ в правую часть, изменив знак:

$3x = 15$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = \frac{15}{3}$

$x = 5$

Ответ: $5$.

б)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 3x - 4} = x$.

Аналогично предыдущему пункту, возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 3x - 4})^3 = x^3$

$x^3 - 3x - 4 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей уравнения:

$-3x - 4 = 0$

Перенесем $-4$ в правую часть:

$-3x = 4$

Разделим обе части на $-3$:

$x = -\frac{4}{3}$

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

в)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 3x - 1} = x - 1$.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 3x - 1})^3 = (x - 1)^3$

$x^3 - 3x - 1 = (x - 1)^3$

Для раскрытия скобок в правой части воспользуемся формулой куба разности: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Подставим полученное выражение обратно в уравнение:

$x^3 - 3x - 1 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Сократим одинаковые члены в обеих частях ($x^3$ и $-1$):

$-3x = -3x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 3x - 3x = 0$

$3x^2 - 6x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x - 2) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных решения:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x - 2 = 0 \implies x_2 = 2$

Ответ: $0; 2$.

г)

Дано уравнение $\sqrt[3]{x^3 - 3x + 1} = x + 1$.

Возведем обе части уравнения в третью степень:

$(\sqrt[3]{x^3 - 3x + 1})^3 = (x + 1)^3$

$x^3 - 3x + 1 = (x + 1)^3$

Для раскрытия скобок в правой части воспользуемся формулой куба суммы: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

$(x + 1)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$x^3 - 3x + 1 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

Сократим одинаковые члены в обеих частях ($x^3$ и $1$):

$-3x = 3x^2 + 3x$

Перенесем все члены в одну сторону:

$3x^2 + 3x + 3x = 0$

$3x^2 + 6x = 0$

Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:

$3x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$3x = 0 \implies x_1 = 0$

$x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Ответ: $-2; 0$.