Номер 7.12, страница 219 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.12, страница 219.

7.12 а) $5^x + \sin x = 5^{\sin x + 2};$

б) $6^{\sqrt[3]{x+1}} = 6^{\sqrt[3]{2x-1}};$

В) $(x^2 - \sin x)^{101} = (x^2 + 1)^{101};$

Г) $(x^7 + \cos x)^{103} = (x^7 - 1)^{103};$

Д) $\sqrt[7]{\sin^2 x + 4^x - 6} = \sqrt[7]{\sin^2 x - 2^x};$

е) $\sqrt[5]{\sin^2 x + 9^x} = \sqrt[5]{-\cos^2 x + 3^x + 7}.$

а) $5^{x + \sin x} = 5^{\sin x + 2}$
Поскольку показательная функция $y = 5^t$ является строго возрастающей, равенство возможно только тогда, когда равны показатели степеней.
$x + \sin x = \sin x + 2$
Вычтем $\sin x$ из обеих частей уравнения:
$x = 2$
Ответ: $2$

б) $6^{\sqrt[3]{x+1}} = 6^{\sqrt[3]{2x-1}}$
Аналогично предыдущему пункту, функция $y = 6^t$ является строго возрастающей, поэтому мы можем приравнять показатели степеней.
$\sqrt[3]{x+1} = \sqrt[3]{2x-1}$
Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корней.
$(\sqrt[3]{x+1})^3 = (\sqrt[3]{2x-1})^3$
$x+1 = 2x-1$
$1+1 = 2x - x$
$x=2$
Ответ: $2$

в) $(x^2 - \sin x)^{101} = (x^2 + 1)^{101}$
Функция $y = t^{101}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем, она строго возрастающая на всей числовой оси. Следовательно, равенство возможно только при равенстве оснований степеней.
$x^2 - \sin x = x^2 + 1$
Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:
$-\sin x = 1$
$\sin x = -1$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

г) $(x^7 + \cos x)^{103} = (x^7 - 1)^{103}$
Функция $y = t^{103}$ является степенной функцией с нечетным натуральным показателем, она строго возрастающая. Поэтому мы можем приравнять основания степеней.
$x^7 + \cos x = x^7 - 1$
Вычтем $x^7$ из обеих частей уравнения:
$\cos x = -1$
Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:
$x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

д) $\sqrt[7]{\sin^2 x + 4^x - 6} = \sqrt[7]{\sin^2 x - 2^x}$
Функция $y = \sqrt[7]{t}$ (корень нечетной степени) является строго возрастающей для всех действительных значений