Номер 7.19, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.19, страница 224.

Решите неравенство (7.19—7.32):

7.19 а) $x^3 - 5x^2 + 4x > (x - 1)^3$;

б) $x^3 - 6x^2 + 9x > (x - 3)^3$;

в) $x^3 + 5x^2 - 6x - 2 < 3x^2 - 3x + 4$;

г) $2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 > x^3 - 2x$.

а) $x^3 - 5x^2 + 4x > (x - 1)^3$

Раскроем скобки в правой части неравенства, используя формулу куба разности $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(x - 1)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1^2 - 1^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Подставим полученное выражение в исходное неравенство:

$x^3 - 5x^2 + 4x > x^3 - 3x^2 + 3x - 1$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (-5x^2 + 3x^2) + (4x - 3x) + 1 > 0$

$-2x^2 + x + 1 > 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$2x^2 - x - 1 < 0$

Теперь решим квадратное уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$, чтобы найти корни. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = 1$; $x_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$.

Парабола $y = 2x^2 - x - 1$ направлена ветвями вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, значения функции меньше нуля между корнями.

Таким образом, решение неравенства: $-\frac{1}{2} < x < 1$.

Ответ: $x \in (-0.5; 1)$.

б) $x^3 - 6x^2 + 9x > (x - 3)^3$

Раскроем скобки в правой части:

$(x - 3)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 3 + 3 \cdot x \cdot 3^2 - 3^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Подставим в неравенство:

$x^3 - 6x^2 + 9x > x^3 - 9x^2 + 27x - 27$

Перенесем все члены в левую часть:

$(x^3 - x^3) + (-6x^2 + 9x^2) + (9x - 27x) + 27 > 0$

$3x^2 - 18x + 27 > 0$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - 6x + 9 > 0$

Левая часть является полным квадратом: $(x - 3)^2$.

Получаем неравенство $(x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Он равен нулю только при $x - 3 = 0$, то есть при $x = 3$. Во всех остальных случаях квадрат положителен.

Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

в) $x^3 + 5x^2 - 6x - 2 < 3x^2 - 3x + 4$

Перенесем все члены из правой части в левую:

$x^3 + 5x^2 - 6x - 2 - 3x^2 + 3x - 4 < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 2x^2 - 3x - 6 < 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 2x^2) - (3x + 6) < 0$

$x^2(x + 2) - 3(x + 2) < 0$

$(x^2 - 3)(x + 2) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x^2 - 3)(x + 2) = 0$.

Корни: $x + 2 = 0 \Rightarrow x_1 = -2$; $x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{3}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-2, -\sqrt{3}, \sqrt{3}$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $(x^2 - 3)(x + 2)$ на крайнем правом интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$. При $x=2$ выражение $(2^2-3)(2+2)=4 > 0$. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -2)$ - минус, $(-2; -\sqrt{3})$ - плюс, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ - минус, $(\sqrt{3}; +\infty)$ - плюс.

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-\sqrt{3}; \sqrt{3})$.

г) $2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 > x^3 - 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^3 + 3x^2 - 4x - 6 - x^3 + 2x > 0$

Приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 3x^2 - 2x - 6 > 0$

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$(x^3 + 3x^2) - (2x + 6) > 0$

$x^2(x + 3) - 2(x + 3) > 0$

$(x^2 - 2)(x + 3) > 0$

Решим неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $(x^2 - 2)(x + 3) = 0$.

Корни: $x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$; $x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x_{2,3} = \pm\sqrt{2}$.

Отметим корни на числовой прямой в порядке возрастания: $-3, -\sqrt{2}, \sqrt{2}$. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала. Определим знак выражения $(x^2 - 2)(x + 3)$ на крайнем правом интервале $(\sqrt{2}; +\infty)$. При $x=2$ выражение $(2^2-2)(2+3)=10 > 0$. Так как все корни имеют кратность 1, знаки на интервалах чередуются: $(-\infty; -3)$ - минус, $(-3; -\sqrt{2})$ - плюс, $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$ - минус, $(\sqrt{2}; +\infty)$ - плюс.

Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-3; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.