Номер 7.22, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.22, страница 224.

7.22 a) $\sqrt[3]{3x^3 - 3x^2 - x + 5} > \sqrt[3]{2x^3 - 4x^2 + x + 5}$;

б) $\sqrt[3]{5x^3 - 6x^2 + 3x + 1} < \sqrt[3]{4x^3 - x^2 - 3x + 1}$.

a) $\sqrt[3]{3x^3 - 3x^2 - x + 5} > \sqrt[3]{2x^3 - 4x^2 + x + 5}$

Поскольку функция $y = \sqrt[3]{t}$ является возрастающей на всей числовой оси, данное неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$3x^3 - 3x^2 - x + 5 > 2x^3 - 4x^2 + x + 5$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$(3x^3 - 2x^3) + (-3x^2 + 4x^2) + (-x - x) + (5 - 5) > 0$

$x^3 + x^2 - 2x > 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 + x - 2) > 0$

Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$ на множители. Корни уравнения $x^2 + x - 2 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Тогда $x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1)$.

Неравенство принимает вид:

$x(x + 2)(x - 1) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули выражения $x(x + 2)(x - 1)$: $x = 0$, $x = -2$, $x = 1$. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения в каждом из полученных интервалов:

• При $x \in (-\infty, -2)$, например $x=-3$: $(-3)(-1)(-4) < 0$.
• При $x \in (-2, 0)$, например $x=-1$: $(-1)(1)(-2) > 0$.
• При $x \in (0, 1)$, например $x=0.5$: $(0.5)(2.5)(-0.5) < 0$.
• При $x \in (1, +\infty)$, например $x=2$: $(2)(4)(1) > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-2, 0)$ и $(1, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-2, 0) \cup (1, +\infty)$.

б) $\sqrt[3]{5x^3 - 6x^2 + 3x + 1} < \sqrt[3]{4x^3 - x^2 - 3x + 1}$

Так как функция кубического корня является возрастающей, мы можем возвести обе части неравенства в третью степень, сохранив знак неравенства:

$5x^3 - 6x^2 + 3x + 1 < 4x^3 - x^2 - 3x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$(5x^3 - 4x^3) + (-6x^2 + x^2) + (3x + 3x) + (1 - 1) < 0$

$x^3 - 5x^2 + 6x < 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x^2 - 5x + 6) < 0$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$. Тогда $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Неравенство примет вид:

$x(x - 2)(x - 3) < 0$

Решим неравенство методом интервалов. Нули выражения: $x = 0$, $x = 2$, $x = 3$. Нанесем их на числовую ось и определим знаки в интервалах:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$: $(-1)(-3)(-4) < 0$.
• При $x \in (0, 2)$, например $x=1$: $(1)(-1)(-2) > 0$.
• При $x \in (2, 3)$, например $x=2.5$: $(2.5)(0.5)(-0.5) < 0$.
• При $x \in (3, +\infty)$, например $x=4$: $(4)(2)(1) > 0$.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, 0)$ и $(2, 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (2, 3)$.