Номер 7.27, страница 224 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.27, страница 224.

7.27 а) $4^{2x-7} > 2^{3x+1};$

В) $7^{5x+1} < 49^{x-2};$

б) $5^{3x-1} < 25^{x+1};$

Г) $8^{x+1} > 64^x.$

а) $4^{2x-7} > 2^{3x+1}$

Для решения этого показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию, в данном случае к 2.

Поскольку $4 = 2^2$, левую часть неравенства можно переписать следующим образом:

$4^{2x-7} = (2^2)^{2x-7} = 2^{2 \cdot (2x-7)} = 2^{4x-14}$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$2^{4x-14} > 2^{3x+1}$.

Так как основание степени $a=2$ больше единицы ($2 > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак исходного неравенства:

$4x - 14 > 3x + 1$.

Теперь решим полученное линейное неравенство:

$4x - 3x > 1 + 14$

$x > 15$.

Решением неравенства является интервал $(15; +\infty)$.

Ответ: $x \in (15; +\infty)$.

б) $5^{3x-1} < 25^{x+1}$

Приведем обе части неравенства к основанию 5.

Так как $25 = 5^2$, правую часть можно преобразовать:

$25^{x+1} = (5^2)^{x+1} = 5^{2 \cdot (x+1)} = 5^{2x+2}$.

Подставим это в исходное неравенство:

$5^{3x-1} < 5^{2x+2}$.

Основание степени $a=5 > 1$, поэтому показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$3x - 1 < 2x + 2$.

Решаем линейное неравенство:

$3x - 2x < 2 + 1$

$x < 3$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 3)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

в) $7^{5x+1} < 49^{x-2}$

Приведем обе части неравенства к основанию 7.

Поскольку $49 = 7^2$, преобразуем правую часть:

$49^{x-2} = (7^2)^{x-2} = 7^{2 \cdot (x-2)} = 7^{2x-4}$.

Неравенство принимает вид:

$7^{5x+1} < 7^{2x-4}$.

Основание степени $a=7 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к показателям:

$5x + 1 < 2x - 4$.

Решаем полученное неравенство:

$5x - 2x < -4 - 1$

$3x < -5$

$x < -\frac{5}{3}$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; -\frac{5}{3})$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3})$.

г) $8^{x+1} > 64^x$

Приведем обе части неравенства к общему основанию, например, 8.

Так как $64 = 8^2$, правая часть неравенства будет:

$64^x = (8^2)^x = 8^{2x}$.

Подставляем в исходное неравенство:

$8^{x+1} > 8^{2x}$.

Основание степени $a=8 > 1$, функция возрастающая. Переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x + 1 > 2x$.

Решаем линейное неравенство:

$1 > 2x - x$

$1 > x$, что эквивалентно $x < 1$.

Решением неравенства является интервал $(-\infty; 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.