Номер 7.32, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.32, страница 225.

7.32 a) $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \ge 9^{4x}$

б) $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \ge 8^{3x}$

в) $4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5x^2} \le \left(\frac{1}{8}\right)^{-3x}$

г) $125 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{x^2} \le \left(\frac{1}{25}\right)^{-4x}$

а) $\sqrt{27} \cdot 3^{-6x^2} \ge 9^{4x}$
Приведем все множители к основанию 3:
$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{3/2}$
$9^{4x} = (3^2)^{4x} = 3^{8x}$
Подставим эти выражения в исходное неравенство:
$3^{3/2} \cdot 3^{-6x^2} \ge 3^{8x}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим левую часть:
$3^{3/2 - 6x^2} \ge 3^{8x}$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:
$3/2 - 6x^2 \ge 8x$
Перенесем все члены в левую часть и приведем к стандартному виду квадратного неравенства:
$-6x^2 - 8x + 3/2 \ge 0$
Умножим обе части на -2, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$, при этом изменив знак неравенства на противоположный:
$12x^2 + 16x - 3 \le 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $12x^2 + 16x - 3 = 0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-3) = 256 + 144 = 400 = 20^2$
$x_1 = \frac{-16 - 20}{2 \cdot 12} = \frac{-36}{24} = -\frac{3}{2}$
$x_2 = \frac{-16 + 20}{2 \cdot 12} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$
Парабола $y = 12x^2 + 16x - 3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=12 > 0$). Следовательно, неравенство $12x^2 + 16x - 3 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Ответ: $x \in [-\frac{3}{2}; \frac{1}{6}]$

б) $\sqrt{32} \cdot 2^{-4x^2} \ge 8^{3x}$
Приведем все множители к основанию 2:
$\sqrt{32} = \sqrt{2^5} = 2^{5/2}$
$8^{3x} = (2^3)^{3x} = 2^{9x}$
Подставим в неравенство:
$2^{5/2} \cdot 2^{-4x^2} \ge 2^{9x}$
$2^{5/2 - 4x^2} \ge 2^{9x}$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$5/2 - 4x^2 \ge 9x$
$-4x^2 - 9x + 5/2 \ge 0$
Умножим на -2 и изменим знак неравенства:
$8x^2 + 18x - 5 \le 0$
Найдем корни уравнения $8x^2 + 18x - 5 = 0$:
$D = 18^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 324 + 160 = 484 = 22^2$
$x_1 = \frac{-18 - 22}{2 \cdot 8} = \frac{-40}{16} = -\frac{5}{2}$
$x_2 = \frac{-18 + 22}{2 \cdot 8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
Парабола $y = 8x^2 + 18x - 5$ имеет ветви, направленные вверх ($a=8 > 0$), поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $x \in [-\frac{5}{2}; \frac{1}{4}]$

в) $4 \cdot (\frac{1}{2})^{5x^2} \le (\frac{1}{8})^{-3x}$
Приведем все к основанию 2:
$4 = 2^2$
$(\frac{1}{2})^{5x^2} = (2^{-1})^{5x^2} = 2^{-5x^2}$
$(\frac{1}{8})^{-3x} = ((2^{-3}))^{-3x} = 2^{9x}$
Подставим в неравенство:
$2^2 \cdot 2^{-5x^2} \le 2^{9x}$
$2^{2 - 5x^2} \le 2^{9x}$
Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$2 - 5x^2 \le 9x$
$-5x^2 - 9x + 2 \le 0$
Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$5x^2 + 9x - 2 \ge 0$
Найдем корни уравнения $5x^2 + 9x - 2 = 0$:
$D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-9 - 11}{2 \cdot 5} = \frac{-20}{10} = -2$
$x_2 = \frac{-9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
Парабола $y = 5x^2 + 9x - 2$ имеет ветви, направленные вверх ($a=5 > 0$), поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -2] \cup [\frac{1}{5}; +\infty)$

г) $125 \cdot (\frac{1}{5})^{x^2} \le (\frac{1}{25})^{-4x}$
Приведем все к основанию 5:
$125 = 5^3$
$(\frac{1}{5})^{x^2} = (5^{-1})^{x^2} = 5^{-x^2}$
$(\frac{1}{25})^{-4x} = (5^{-2})^{-4x} = 5^{8x}$
Подставим в неравенство:
$5^3 \cdot 5^{-x^2} \le 5^{8x}$
$5^{3 - x^2} \le 5^{8x}$
Так как основание $5 > 1$, знак неравенства сохраняется:
$3 - x^2 \le 8x$
$-x^2 - 8x + 3 \le 0$
Умножим на -1 и изменим знак неравенства:
$x^2 + 8x - 3 \ge 0$
Найдем корни уравнения $x^2 + 8x - 3 = 0$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 64 + 12 = 76$
$\sqrt{D} = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19}$
$x_1 = \frac{-8 - 2\sqrt{19}}{2} = -4 - \sqrt{19}$
$x_2 = \frac{-8 + 2\sqrt{19}}{2} = -4 + \sqrt{19}$
Парабола $y = x^2 + 8x - 3$ имеет ветви, направленные вверх ($a=1 > 0$), поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне отрезка между корнями.
Ответ: $x \in (-\infty; -4 - \sqrt{19}] \cup [-4 + \sqrt{19}; +\infty)$