Номер 8.4, страница 228 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 8. Уравнения-следствия. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 8.4, страница 228.

8.4* a) $\frac{2 \operatorname{tg} x}{1+\operatorname{tg}^2 x}=0$, $\sin 2x = 0;$

б) $\frac{1-\operatorname{tg}^2 x}{1+\operatorname{tg}^2 x}=-1$, $\cos 2x = -1.$

а)

Решим уравнение $\frac{2\tg x}{1+\tg^2 x} = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения определяется условием существования тангенса: $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
1. Приравняем числитель к нулю: $2\tg x = 0$, откуда $\tg x = 0$.
Решением этого простейшего тригонометрического уравнения является $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2. Знаменатель $1 + \tg^2 x$ всегда строго положителен, так как $\tg^2 x \ge 0$, следовательно $1 + \tg^2 x \ge 1$.

Все найденные корни $x = \pi n$ удовлетворяют ОДЗ, так как для этих значений $\cos(\pi n) = (-1)^n \neq 0$.

Важно отметить, что хотя левая часть уравнения является формулой для $\sin 2x$ (так называемая универсальная тригонометрическая подстановка), прямая замена на $\sin 2x = 0$ может привести к неверному результату. Уравнение $\sin 2x = 0$ имеет решения $x = \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$. Эта серия включает в себя "посторонние" для исходного уравнения корни $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (при нечетных $m$), при которых исходное выражение не определено. Поэтому необходимо всегда учитывать ОДЗ.

Ответ: $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Решим уравнение $\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x} = -1$.

ОДЗ данного уравнения, как и в предыдущем пункте, определяется условием $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используем формулу универсальной тригонометрической подстановки: $\cos 2x = \frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x}$.
С учетом ОДЗ, исходное уравнение можно попытаться свести к уравнению $\cos 2x = -1$.

Решим уравнение $\cos 2x = -1$.
Это частный случай, решение которого: $2x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Разделив на 2, получаем: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные решения в ОДЗ.
ОДЗ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$.
Полученные решения $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ в точности совпадают с теми значениями, которые исключены из ОДЗ.
Следовательно, ни один из найденных корней не является решением исходного уравнения.

Альтернативный способ решения:

Решим уравнение алгебраически, не используя замену.
$\frac{1-\tg^2 x}{1+\tg^2 x} = -1$
Домножим обе части на знаменатель $1+\tg^2 x$ (он всегда положителен для $x$ из ОДЗ):
$1-\tg^2 x = -(1+\tg^2 x)$
$1-\tg^2 x = -1-\tg^2 x$
Прибавив $\tg^2 x$ к обеим частям, получим:
$1 = -1$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).