Номер 7.31, страница 225 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

§ 7. Равносильность уравнений и неравенств. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 7.31, страница 225.

7.31* a) $3^{4x + \sin x} > 3^{\sin x + 2};$

б) $16^{\sqrt[3]{3x - 50}} < 16^{\sqrt[3]{2x + 20}};$

В) $(x^2 - \sin x)^{17} > (x^2 + 0,5)^{17};$

Г) $(x^8 + \cos x)^{13} < (x^8 - 0,5)^{13};$

Д) $\sqrt[3]{3 \sin^2 x + 4^x - 3} > \sqrt[3]{-3 \cos^2 x + 2^x};$

е) $\sqrt[5]{\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28} < \sqrt[5]{-\cos^2 x + 9^x}.$

а) $3^{4x + \sin x} > 3^{\sin x + 2}$

Данное неравенство является показательным. Так как основание степени $a = 3$, а $3 > 1$, показательная функция $y = 3^t$ является строго возрастающей. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для показателей степеней:

$4x + \sin x > \sin x + 2$

Вычтем из обеих частей неравенства слагаемое $\sin x$:

$4x > 2$

Разделим обе части неравенства на 4:

$x > \frac{2}{4}$

$x > \frac{1}{2}$

Ответ: $x \in (\frac{1}{2}; +\infty)$.

б) $16^{\sqrt[3]{3x - 50}} < 16^{\sqrt[3]{2x + 20}}$

Это показательное неравенство с основанием $a = 16$. Так как $16 > 1$, функция $y = 16^t$ является строго возрастающей. Следовательно, неравенство сводится к неравенству для показателей:

$\sqrt[3]{3x - 50} < \sqrt[3]{2x + 20}$

Функция $y = \sqrt[3]{t}$ (кубический корень) является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому можно возвести обе части неравенства в куб, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt[3]{3x - 50})^3 < (\sqrt[3]{2x + 20})^3$

$3x - 50 < 2x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$3x - 2x < 20 + 50$

$x < 70$

Ответ: $x \in (-\infty; 70)$.

в) $(x^2 - \sin x)^{17} > (x^2 + 0.5)^{17}$

Это степенное неравенство. Так как показатель степени $n = 17$ является нечетным числом, функция $y = t^{17}$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Поэтому данное неравенство равносильно неравенству для оснований степеней:

$x^2 - \sin x > x^2 + 0.5$

Вычтем из обеих частей неравенства $x^2$:

$-\sin x > 0.5$

Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$\sin x < -0.5$

Решим это тригонометрическое неравенство. Сначала найдем корни уравнения $\sin x = -0.5$. На промежутке $[-\pi, \pi]$ это $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = -\frac{5\pi}{6}$. На единичной окружности значения синуса меньше $-0.5$ соответствуют дуге, расположенной ниже прямой $y = -0.5$. Это интервал между $-\frac{5\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$. С учетом периодичности функции синус, общее решение имеет вид:

$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k < x < -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{5\pi}{6} + 2\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

г) $(x^8 + \cos x)^{13} < (x^8 - 0.5)^{13}$

Показатель степени $n = 13$ — нечетное число, поэтому функция $y = t^{13}$ является строго возрастающей. Неравенство равносильно следующему:

$x^8 + \cos x < x^8 - 0.5$

Вычтем из обеих частей $x^8$:

$\cos x < -0.5$

Решим тригонометрическое неравенство. Корни уравнения $\cos x = -0.5$ на промежутке $[0, 2\pi]$ — это $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = \frac{4\pi}{3}$. На единичной окружности значения косинуса меньше $-0.5$ соответствуют дуге, расположенной левее прямой $x = -0.5$. Это интервал между $\frac{2\pi}{3}$ и $\frac{4\pi}{3}$. Общее решение с учетом периодичности:

$\frac{2\pi}{3} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \frac{4\pi}{3} + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

д) $\sqrt[3]{3\sin^2 x + 4^x - 3} > \sqrt[3]{-3\cos^2 x + 2^x}$

Функция $y = \sqrt[3]{t}$ является строго возрастающей, поэтому неравенство равносильно неравенству для подкоренных выражений:

$3\sin^2 x + 4^x - 3 > -3\cos^2 x + 2^x$

Перенесем все слагаемые в левую часть и сгруппируем:

$(3\sin^2 x + 3\cos^2 x) + 4^x - 2^x - 3 > 0$

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$3(1) + 4^x - 2^x - 3 > 0$

$3 + 4^x - 2^x - 3 > 0$

$4^x - 2^x > 0$

Представим $4^x$ как $(2^x)^2$:

$(2^x)^2 - 2^x > 0$

Сделаем замену $y = 2^x$. Так как $2^x > 0$ при любом $x$, то $y > 0$.

$y^2 - y > 0 \implies y(y - 1) > 0$

Решением этого неравенства являются $y < 0$ или $y > 1$. Учитывая, что $y > 0$, остается только $y > 1$.

Вернемся к исходной переменной:

$2^x > 1$

$2^x > 2^0$

Так как основание $2 > 1$, то $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

е) $\sqrt[5]{\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28} < \sqrt[5]{-\cos^2 x + 9^x}$

Функция $y = \sqrt[5]{t}$ является строго возрастающей. Следовательно, неравенство можно переписать для подкоренных выражений:

$\sin^2 x + 12 \cdot 3^x - 28 < -\cos^2 x + 9^x$

Перенесем все члены в левую часть:

$\sin^2 x + \cos^2 x - 9^x + 12 \cdot 3^x - 28 < 0$

Применим тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$1 - 9^x + 12 \cdot 3^x - 28 < 0$

$-9^x + 12 \cdot 3^x - 27 < 0$

Умножим неравенство на -1, изменив знак:

$9^x - 12 \cdot 3^x + 27 > 0$

Пусть $y = 3^x$, тогда $9^x = (3^x)^2 = y^2$. Так как $3^x > 0$, то $y > 0$. Неравенство принимает вид:

$y^2 - 12y + 27 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $y^2 - 12y + 27 = 0$. По теореме Виета, корни $y_1 = 3$ и $y_2 = 9$. Так как парабола $f(y) = y^2 - 12y + 27$ имеет ветви вверх, неравенство $f(y) > 0$ выполняется при $y < 3$ или $y > 9$. Возвращаемся к замене:

1) $y < 3 \implies 3^x < 3$. Так как $3=3^1$ и основание $3>1$, то $x < 1$.

2) $y > 9 \implies 3^x > 9$. Так как $9=3^2$ и основание $3>1$, то $x > 2$.

Объединяя эти два случая, получаем решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)$.